Хочу узнать более-менее строгое решение следующей задачи.
Три черепашки сидят в вершинах равностороннего треугольника. Вдруг они начинают двигаться первая ко второй, вторая к третьей и третья к первой, причём их скорости постоянны по величине и равны. Когда они встретятся?
Т.е. если координаты черепашек равны $%r_1,$% $%r_2$% и $%r_3$% соответственно, то $%|v_1|=|v_2| = |v_3|=v$% и $%v_1\parallel r_2-r_1, v_2\parallel r_3-r_2, v_3\parallel r_3-r_1.$%
Обычно решают через симметрию относительно поворота на 120 градусов, но она как-то не совсем очевидна...

задан 7 Фев '14 15:37

10|600 символов нужно символов осталось
0

Попробуем рассуждать так. Расположение черепашек всё время симметрично относительно поворота вокруг центра на 120 градусов. (Это следует из того, что движение описывается дифференциальными уравнениями с участием векторов координат и векторов скоростей, и все эти уравнения устроены одинаково; начальные условия также симметричны.) Центр треугольника всё время остаётся на месте.

Соединим одну из черепашек отрезком с центром треугольника. Вектор скорости направлен ко второй черепашке, то есть под углом 30 градусов к этому направлению. Проекция вектора скорости на направление к центру получается умножением на косинус угла, то есть она равна $%v\sqrt3/2$%. Если сторона треугольника была равна $%s$%, то пройти надо путь $%s/\sqrt3$%, и это происходит за время $%t=\frac{2s}{3v}$%.

ссылка

отвечен 7 Фев '14 17:40

изменен 9 Июн '15 19:49

это-то я знаю, просто для меня не была очевидна симметрия

(7 Фев '14 23:17) trongsund

Но ведь симметричность следует из общих соображений -- если рисунок повернуть, то получится та же задача для черепах с номерами 2, 3, 1 вместо 1, 2, 3. У них "закон движения" абсолютно тот же.

(7 Фев '14 23:22) falcao

Можно вопрос, там очевидно что три черепахи встретятся в центре треугольника , сам вопрос: если направление скорости будет изменятся то и скорость будет меняться?

(8 Фев '14 20:28) parol

@parol: вектор скорости может меняться, но абсолютная её величина всё время одна и та же, согласно условию.

(8 Фев '14 20:57) falcao

Небольшое простое отступление. А сделает ли одна (каждая) черепаха полный виток вокруг центральной точки? А сколько должно быть черепах (в вершинах правильного многоугольника, чтобы при аналогичном условии задачи каждая черепаха сделала по крайней мере один такой виток?

(9 Фев '14 0:16) Urt

@Urt: это интересный вопрос сам по себе. Ведь априори совершенно не очевидно, сколько "оборотов" будет сделано. Можно ли это всё подсчитать как-то просто, из общих соображений? Напрашивается такая идея: написать уравнение движения в полярных координатах. Вектор скорости известен, то есть это всё должно в явном виде решаться. Угловая скорость там постоянна, что ясно из соображений симметрии. Может, имеет смысл сделать это отдельным вопросом (для n-угольника в том числе)?

(9 Фев '14 0:36) falcao

@Falcao, я рассуждал следующим образом. Если точка 0 достижима, то число оборотов конечно. Если черепашки сделают один виток, то витков будет бесчисленное множество. Отсюда вывод - всегда менее одного витка

(9 Фев '14 0:45) Urt
1

Раз мы доказали, что черепахи будут всё время образовывать равносторонний треугольник, скорость каждой будет всё время давать с направлением к центру угол 30 градусов. Значит, они будут бежать по спирали Ферма, т.е. сделают бесконечно много оборотов вокруг центра.

(10 Фев '14 21:22) trongsund

@Urt: я пытался осмыслить Ваш аргумент, но в итоге мне показалось, что они сродни соображению про Ахиллеса, который никогда не догонит черепаху. Скажем, можно рассмотреть ситуацию, когда мы повернули всё на 1 градус и повторить те же слова. Кроме того, бесконечное число витков само по себе ничему вроде бы не противоречит.

@trongsund: я пытался вычислить траекторию движения, исходя из того, что угол между двумя векторами всегда равен 30 градусам. Возникло какое-то не вполне ясное дифференциальное уравнение, выводов из которого я извлечь не смог. А как получается именно спираль Ферма?

(10 Фев '14 21:32) falcao

@Falcao, отмеченную Вами погрешность в моих рассуждениях я осознал сразу после их изложения. Действительно, на каждом витке ситуация аналогична исходной, но с другими скоростями. В итоге рассматривается отрезок времени, исключающий момент попадания в конечную точку. С другой стороны, при большом числе черепах движение намного в большей степени "вбок", чем к центру. При этом длина траектории должна быть намного больше расстояния до центра. Тогда с учетом выпуклости траектории виток вокруг центра неизбежен.

(10 Фев '14 21:50) Urt

По этой ссылке (http://www.mathforum.ru/forum/read/1/59137/59234/#59234 )обсуждение, программы для моделирования + красивая анимация для этой задачи (автор kitonum).

(10 Фев '14 23:18) Urt
показано 5 из 11 показать еще 6
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,137
×6

задан
7 Фев '14 15:37

показан
2769 раз

обновлен
9 Июн '15 19:49

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru