|
Можно - ли куб разбить на n кубов (не обязательно равных)? n-любое натуральное число большее некоторого n0. задан 21 Мар '12 15:30 
Anatoliy |
|
Продолжая идею @ASailyan, построим несколько серий "подходящих" n. Если делить отдельные кубы на 8, 27 и т.д. частей, то можно добавить к допустимому количеству 7, 26, ... кубиков. В частности, можно получить любое число n вида $%1 + 7k + 26 l$%. Но из теории чисел известно, что любое натуральное число, начиная с некоторого, можно представить в таком виде (так как 7 и 26 взаимно просты). Значит, ответ на вопрос задачи (с учетом поправки в комментарии) - положительный. А вот можно ли разбить куб так, чтобы он не распадался на параллелепипеды? И еще остается вопрос о малых значениях n. Но он уже требует перебора и догадки... Дополнение. Если рассматривать только числа вида 1 + 7k + 26l, k, l >=0, то минимум - 151. Однако можно пойти "обратным ходом" и построить разбиения с меньшим числом кубов. Например, в каждом разбиении на 27 кубиков можно объединить 8 из них (в одном углу) и получить 27-7=20 кубиков. Значит, можно получить любое число кубов вида 1+7k +19l, k,l >=0. Кроме того, из разбиения 4х4х4 аналогично можно получить 64-26=38 кубиков, а значит, и серию 38 +7k + 26l. Выписав эти числа (например,в Excel) получаем, что допустимыми являются все значения, начиная с 90. Но утверждать, что это число наименьшее, я не могу. отвечен 22 Мар '12 8:50 
DocentI Это число 71.
(2 Апр '12 11:12)
Anatoliy
А как получено?
(2 Апр '12 11:14)
DocentI
Правильно, нельзя быть доверчивыми. Разбейте ребро куба на n равных частей (куб разбивается n^3 кубов). Далее рассмотрите куб в углу, ребро которого равно k частям (k<n). Ну, а далее - подумайте.
(2 Апр '12 11:29)
Anatoliy
|
|
Если переформулировать задачу так "Существуют ли такие n, что куб нельзя разбить на n кубов?", то ответ положительный. Например, n=2. отвечен 21 Мар '12 16:07 
Андрей Юрьевич Андрей Юрьевич, ответ хороший, но смотри комментарий.
(21 Мар '12 16:19)
Anatoliy
|
|
да. смотри теорию фракталов. N = бесконечности при кратности 8 отвечен 21 Мар '12 23:47 
sedan Если бы я хоть что-то здесь поняла. Вы имеет в виду, что можно разбить на 8k частей прилюбом k?Не факт! Или только при некоторых?
(22 Мар '12 8:30)
DocentI
|
|
Очевидно что $% n=8 $% удовлетворяет, тогда $% n=15 ,n=22, n=29 $%, ... тоже удовлетворяют.Потому что если разбить куб на восемь равных кубов,а некоторые из них разбить на восемь маленьких кубов, то получится новое разбиение. Если n удовлетворяет условию задачи, то числа $%(n-k)+8k$% тоже удовлетворяют, где $% к\le n. $%. Здесь вместо 8 можно взять 27, и вообще любое удовлетворящее число m. Аналогичним способом из любого разбиения получится целое семейство новых разбиений. И так (см. ответ @DocentI) куб можно разбить на n частей, если n=7k+1 или n=26k+1 или n=7k+26m+1 $% (k,m \in N)$%. Все натуральные числа $%n\ge8$% разобем на классы чисел вида 7k+1, 7k+2,7k+3, 7k+4, 7k+5, 7k+6, 7k+7, где $% к\in N $%. Представим число 7k+i(i=1,2,...,7) в виде $% 7k+1+i(78-77)=7k+1+i \cdot 3\cdot26-i\cdot7\cdot11=7(k-11i)+3\cdot26\cdot i+1$%. надо требовать чтобы $%k\ge11i, (i=0,1,2,...,6)$%. Значит если $% k\ge66$% , а число $% n\ge 463 $%, то куб можно разбить на n кубиков . И так при $% n_0=463 $% , можно. отвечен 22 Мар '12 2:51 
ASailyan Т.е. n + 7k, $%k\leq n$%. Последнее условие можно снять, так как можно разбивать не "исходные", а какие-нибудь новые кубы.
(22 Мар '12 8:36)
DocentI
Нашла удовлетворяющее число. См мой ответ.
(31 Мар '12 11:53)
ASailyan
Такое число существует (оно меньше 100).
(31 Мар '12 14:12)
Anatoliy
Но ваша задача решена. Потому что в условии нет требование найти минимальное n0.Ответ "Да", при скажем n0=463.
(1 Апр '12 1:29)
ASailyan
Задача решена, но все-таки n0 значительно больше числа, которое было указано в комментарии. Сделайте еще небольшое усилие, если получите результат меньше 100, то Ваш ответ будет отмечен как правильный. Желаю Вам успехов!
(1 Апр '12 18:14)
Anatoliy
|
Для произвольного n? На 8 или 27 точно можно!
Андрей Юрьевич, имеется ввиду существование минимального n0, что это возможно при всех n>=n0.
Вставьте поправку прямо в текст вопроса, а то не все ее видят.