|
Определить, при каких значениях параметра система $$ax^2+a-1=y-|sinx|\\\ tg^2x+y^2=1 $$ имеет единственное решение. задан 8 Фев '14 16:11 
Amalia |
|
Вместе с каждым решением вида $%(x;y)$% система также имеет решение $%(-x;y)$%. Тем самым, единственное решение должно иметь вид $%(0;y)$%, то есть $%x=0$%. Второе уравнение при этом имеет вид $%y^2=1$%, а в первом получается $%a=1+y$%, то есть это может быть только при $%a=0$% или $%a=2$%. В первом случае система имеет бесконечно много решений: помимо $%(0;-1)$% подходят все пары вида $%(\pi k;-1)$%, где $%k$% целое. Рассмотрим теперь случай $%a=2$%. Из второго уравнения видно, что $%y\le1$%. Тогда в первом уравнении получается $%2x^2+1=y-|\sin x|$%, где левая часть не меньше 1, а правая -- не больше. Равенство имеет место только при $%x=0$%, $%y=1$%, и эта пара является единственным решением. отвечен 8 Фев '14 16:26 
falcao а случай при а =0?
(8 Фев '14 16:27)
Amalia
У меня он разобран: сказано, что "в первом случае" (то есть при $%a=0$%) решений бесконечно много.
(8 Фев '14 16:32)
falcao
А как вы оценивали $$y-|sinx| $$
(8 Фев '14 16:39)
Amalia
Поскольку $%y\le1$% (из второго уравнения), а вычитаем мы модуль, то есть неотрицательное число, разность может только уменьшиться, то есть она не больше 1-0=1.
(8 Фев '14 16:43)
falcao
А как доказать,что система в первом случае имеет бесконечно много решений?
(8 Фев '14 17:13)
Amalia
У меня эти решения названы в явном виде. Синус и тангенс п*k равны нулю.
(8 Фев '14 17:48)
falcao
показано 5 из 6
показать еще 1
|
|
$$\begin{cases}ax^2+a-1=y-|sinx|,\\\ tg^2x+y^2=1, \end{cases}\Rightarrow x^2+y^2\le1 \quad(x^2+y^2=1,x=0).$$ Функция $%y=ax^2+a-1+|sinx|$%-четная, имеет "вершину" $%(0;a-1).$% Следовательно $%a-1=1$% или $%a-1=-1$%. В первом случае $%a=2$%, очевидно, проходит ($%a>0).$% Во втором случае $%a=0$% (тоже очевидно),кроме решения $%(0;-1)$% имеет бесконечное число решений (стоит посмотреть на график функции $%y=|sinx|-1.$% Ответ: при $%a=2,\quad(0;1)$% отвечен 8 Фев '14 17:00 
Anatoliy |