Найти все значения а, при которых система имеет единственное решение $$3*2^{|x|}+5|x|+4=3y+5x^2+3a \\\ x^2+y^2=1$$

задан 9 Фев '14 12:42

@falcao можете подробнее объяснить как оценивали первое уравнение в первом случае 5|х|-5х^2 ?

(13 Фев '14 17:50) Amalia

@Amalia: у меня это написано в виде неравенств, и это полное объяснение (с математической точки зрения), но давайте я объясню ещё так. Обычно квадрат числа больше самого числа (типа, $%7^2 > 7$%). Но для чисел между 0 и 1 всё наоборот: $%1/7$% больше $%1/49$%. Поэтому $%|x|\ge x^2$% при "маленьких" $%x$%, то есть таких, которые по модулю не больше 1 (а второму уравнению удовлетворяют только такие). "Академическое" же доказательство такое: я знаю, что $%x^2\le1$%, извлекаю корень, получаю $%|x|\le1$%, домножаю на неотрицательное число $%|x|$%, откуда $%|x|^2\le|x|$%, т.е. $%|x|\ge x^2$%.

(13 Фев '14 20:22) falcao

Ещё добавлю, что $%|x|\ge0$%, поэтому $%2^{|x|}\ge2^0=1$%. Тогда $%3\cdot2^{|x|}+5(|x|-x^2)\ge3\cdot1+5\cdot0=3$%.

(13 Фев '14 20:24) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Здесь, как и в одном из прошлых примеров, единственность решения может иметь место только при $%x=0$%. Тогда $%y=\pm1$%, и $%a=7/3-y$%. Разбираем два случая.

1) $%a=4/3$%. Запишем первое уравнение в виде $%3\cdot2^{|x|}+5|x|-5x^2=3y$%. Заметим, что из второго уравнения следует $%y\le1$%, а также $%|x|\le1$%. В частности, $%x^2=|x|^2\le|x|$%, а потому $%5|x|-5x^2\ge0$%. Следовательно, левая часть не меньше 3, а правая -- не больше. Отсюда получаем $%x=0$% и $%y=1$%. Решение единственно.

2) $%a=10/3$%. Здесь помимо $%(0;-1)$% получаются ещё решения $%(\pm1;0)$%, то есть этот случай не подходит.

ссылка

отвечен 9 Фев '14 13:05

изменен 13 Фев '14 20:22

А как вторую систему решать?

(9 Фев '14 13:26) Amalia

Вы имеете в виду второй случай? Там решать не нужно -- достаточно указать, что решений много. Это проверяется прямой подстановкой чисел. В первом уравнении получается 15=15.

(9 Фев '14 13:34) falcao

Я не очень поняла, а что подставлять нужно?

(9 Фев '14 14:08) Amalia

Я указал решения $%(\pm1;0)$% помимо $%(0;-1)$%. Это значит, что подставить надо $%x=\pm1$%, $%y=0$%. При этом получается 15=15 и 1=1.

(9 Фев '14 14:15) falcao

А от куда эти решения берутся?

(9 Фев '14 14:18) Amalia

Они просто находятся подбором. Значение $%a$% выходит слишком большое, поэтому мы пробуем самое большое $%x$%, чтобы сделать левую часть как можно больше. А это как раз и будет $%x=1$%. При этом $%y=0$%, и далее просто проверяем. Авторы задачи именно из этого и исходили, что решать целиком систему не нужно (вообще, никогда не надо "перевыполнять план"), а надо исходить из наблюдений. Это проверка умения замечать те вещи, которые должны бросаться в глаза, и не более того. При этом полезно рассуждать на "качественном" уровне типа "много - мало". Проверка-то потом всё равно "железная" делается.

(9 Фев '14 14:25) falcao

Спасибо огромное!

(9 Фев '14 14:51) Amalia
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
0

Значения параметра а найдено не верно. В одном случае а=-1/3, в другом а=5/3.

ссылка

отвечен 9 Фев '14 13:35

Это почему не верно? Решение покажите

(9 Фев '14 13:36) Amalia

@nynko: при $%x=0$% в левой части получается $%3\cdot2^0+4=7$%, поэтому всё верно.

(9 Фев '14 13:43) falcao

Извините, что заставил Вас зря потерять время. я переписал условие с ошибкой.

(9 Фев '14 14:01) nynko
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×536

задан
9 Фев '14 12:42

показан
586 раз

обновлен
13 Фев '14 20:24

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru