|
Найти все значения а, при которых система имеет единственное решение $$3*2^{|x|}+5|x|+4=3y+5x^2+3a \\\ x^2+y^2=1$$ задан 9 Фев '14 12:42 
Amalia |
|
Здесь, как и в одном из прошлых примеров, единственность решения может иметь место только при $%x=0$%. Тогда $%y=\pm1$%, и $%a=7/3-y$%. Разбираем два случая. 1) $%a=4/3$%. Запишем первое уравнение в виде $%3\cdot2^{|x|}+5|x|-5x^2=3y$%. Заметим, что из второго уравнения следует $%y\le1$%, а также $%|x|\le1$%. В частности, $%x^2=|x|^2\le|x|$%, а потому $%5|x|-5x^2\ge0$%. Следовательно, левая часть не меньше 3, а правая -- не больше. Отсюда получаем $%x=0$% и $%y=1$%. Решение единственно. 2) $%a=10/3$%. Здесь помимо $%(0;-1)$% получаются ещё решения $%(\pm1;0)$%, то есть этот случай не подходит. отвечен 9 Фев '14 13:05 
falcao А как вторую систему решать?
(9 Фев '14 13:26)
Amalia
Вы имеете в виду второй случай? Там решать не нужно -- достаточно указать, что решений много. Это проверяется прямой подстановкой чисел. В первом уравнении получается 15=15.
(9 Фев '14 13:34)
falcao
Я не очень поняла, а что подставлять нужно?
(9 Фев '14 14:08)
Amalia
Я указал решения $%(\pm1;0)$% помимо $%(0;-1)$%. Это значит, что подставить надо $%x=\pm1$%, $%y=0$%. При этом получается 15=15 и 1=1.
(9 Фев '14 14:15)
falcao
А от куда эти решения берутся?
(9 Фев '14 14:18)
Amalia
Они просто находятся подбором. Значение $%a$% выходит слишком большое, поэтому мы пробуем самое большое $%x$%, чтобы сделать левую часть как можно больше. А это как раз и будет $%x=1$%. При этом $%y=0$%, и далее просто проверяем. Авторы задачи именно из этого и исходили, что решать целиком систему не нужно (вообще, никогда не надо "перевыполнять план"), а надо исходить из наблюдений. Это проверка умения замечать те вещи, которые должны бросаться в глаза, и не более того. При этом полезно рассуждать на "качественном" уровне типа "много - мало". Проверка-то потом всё равно "железная" делается.
(9 Фев '14 14:25)
falcao
Спасибо огромное!
(9 Фев '14 14:51)
Amalia
показано 5 из 7
показать еще 2
|
|
Значения параметра а найдено не верно. В одном случае а=-1/3, в другом а=5/3. отвечен 9 Фев '14 13:35 
nynko Это почему не верно? Решение покажите
(9 Фев '14 13:36)
Amalia
@nynko: при $%x=0$% в левой части получается $%3\cdot2^0+4=7$%, поэтому всё верно.
(9 Фев '14 13:43)
falcao
Извините, что заставил Вас зря потерять время. я переписал условие с ошибкой.
(9 Фев '14 14:01)
nynko
|
@falcao можете подробнее объяснить как оценивали первое уравнение в первом случае 5|х|-5х^2 ?
@Amalia: у меня это написано в виде неравенств, и это полное объяснение (с математической точки зрения), но давайте я объясню ещё так. Обычно квадрат числа больше самого числа (типа, $%7^2 > 7$%). Но для чисел между 0 и 1 всё наоборот: $%1/7$% больше $%1/49$%. Поэтому $%|x|\ge x^2$% при "маленьких" $%x$%, то есть таких, которые по модулю не больше 1 (а второму уравнению удовлетворяют только такие). "Академическое" же доказательство такое: я знаю, что $%x^2\le1$%, извлекаю корень, получаю $%|x|\le1$%, домножаю на неотрицательное число $%|x|$%, откуда $%|x|^2\le|x|$%, т.е. $%|x|\ge x^2$%.
Ещё добавлю, что $%|x|\ge0$%, поэтому $%2^{|x|}\ge2^0=1$%. Тогда $%3\cdot2^{|x|}+5(|x|-x^2)\ge3\cdot1+5\cdot0=3$%.