Доказать высказывание $$B\cup(A\setminus B)=A\cup B$$

задан 9 Фев '14 14:11

изменен 9 Фев '14 14:53

falcao's gravatar image


266k63751

Самое понятное доказательство - по кругам Эйлера

(9 Фев '14 15:36) SenjuHashirama

@SenjuHashirama: в принципе, это так, но подобного рода рассуждения проводятся на иллюстративном уровне. Поэтому при наличии формальных требований, они могут не быть засчитаны. Лично мне кажется самым удобным способ логических рассуждений на основании определений, с анализом принадлежности элементов. При этом можно одновременно смотреть на картинку -- подобно тому, как мы используем чертежи в геометрии.

(9 Фев '14 15:55) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Это можно доказать очень многими способами: при помощи составления таблиц, на кругах Эйлера, при помощи рассуждений, или как-то ещё. Можно использовать свойства теоретико-множественных операций. Тогда получается, что $%A\setminus B=A\cap\bar{B}$%, откуда $$B\cup(A\setminus B)=B\cup(A\cap\bar{B})=(B\cup A)\cap(B\cup\bar{B})=(A\cup B)\cap{\cal U}=A\cup B,$$ где $%{\cal U}$% -- универсальное множество.

ссылка

отвечен 9 Фев '14 14:57

а вот откуда такое следует A∩B'

(9 Фев '14 15:28) parol

Из определения. Что такое теоретико-множественная разность? Она состоит из всех элементов, которые принадлежат А и при этом не принадлежат В, то есть принадлежат дополнению В.

Если на словесном уровне один раз как следует проработать все определения, то ни одно из этих упражнений не будет вызывать вопросов. Они все будут автоматически решаться.

(9 Фев '14 15:34) falcao

у меня вопрос , не по поводу этой задачи! можно словесно сказать, как будет выглядит объединение двух не пересекающих множеств AUB

(9 Фев '14 15:46) parol

В диаграмме Эйлера-Венна

(9 Фев '14 15:46) parol

Если множества не пересекаются и изображаются двумя отдельно расположенными кругами, то объединением будет множество точек этих двух кругов, то есть две "кляксы". Это как бы самоочевидная вещь, и здесь просто не нужно ждать возникновения каких-то неожиданных эффектов.

(9 Фев '14 15:51) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

$%x\in B\cup(A\setminus B)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}x\in B \\x\in A\setminus B \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}x\in B \\\begin{cases} x\in A\\ x\notin B\end{cases} \end{aligned}\right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}x\in B \\x\in A \end{aligned}\right. \Leftrightarrow x\in A\cup B.$%

Значит $%B\cup(A\setminus B)\subset (A\cup B)$% и $%B\cup(A\setminus B)\supset (A\cup B)\Rightarrow B\cup(A\setminus B)= (A\cup B)$%

ссылка

отвечен 9 Фев '14 15:00

изменен 9 Фев '14 15:04

Вопрос. х принадлежит В и одновременно не принадлежит, значит же оно принадлежит только А

(9 Фев '14 15:33) parol

@parol: ситуация, когда элемент одновременно принадлежит и не принадлежит B, является логическим противоречием. Она просто невозможна как таковая.

(9 Фев '14 15:56) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×5,013
×4,019
×1,782
×547

задан
9 Фев '14 14:11

показан
1833 раза

обновлен
9 Фев '14 15:56

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru