Составьте приведённое квадратное уравнение с рациональными коэффициентами и иррациональными корнями x1 и x2 так, чтобы выполнялось условие x1+2(x2)^2=1

задан 9 Фев '14 21:52

изменен 10 Фев '14 21:01

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
3

Пусть уравнение имеет вид $%x^2+px+q=0$%. По теореме Виета, $%x_1+x_2=-p$%; $%x_1x_2=q$%. Нам нужно, чтобы выполнялось равенство $%x_1=1-2x_2^2$%. Пусть это будет так по определению; тогда мы хотим, чтобы было $%1+x_2-2x_2^2=-p$% и $%x_2-2x_2^3=q$%. Из первого равенства следует, что $%2x_2^2=1+p+x_2$%, и тогда $%2x_2^3=2x_2^2\cdot x_2=(1+p)x_2+x_2^2=(1+p)x_2+\frac{1+p}2+\frac12x_2=(\frac32+p)x_2+\frac{1+p}2$%. Тогда $%q=x_2-2x_2^3=-(p+\frac12)x_2-\frac{1+p}2$%. Чтобы $%x_2$% при этом не выражалось через рациональные числа, надо взять $%p=-\frac12$%. При этом получится, что $%q=-\frac14$%.

Уравнение $%x^2-\frac12x-\frac14=0$% имеет два иррациональных корня: $%x_1=\frac{1-\sqrt5}4$% и $%x_2=\frac{1+\sqrt5}4$%. Прямая проверка показывает, что при этом $%x_1+2x_2^2=1$%.

ссылка

отвечен 10 Фев '14 2:15

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×682

задан
9 Фев '14 21:52

показан
2785 раз

обновлен
10 Фев '14 16:22

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru