Числа часто используют для описания действительности. Однако делать это надо осторожно, как показывают примеры.

То, что $%коп^2\neq коп$% понятно всем, даже далеким от математики людям. Но в других случаях высказывания, содержащие числа, кажутся вполне осмысленными.
Как вам кажется, какие из следующих высказываний корректны?

  1. На полке стоят два сосуда с водой.
  2. Вес воды в первом сосуде в два раза больше, чем во втором.
  3. Температура воды в первом сосуде в два раза больше, чем во втором.
  4. Средний балл моего аттестата равен 4,75.
  5. Среднее значение числа очков, выпадающих на игральной кости, равно 1,5.
  6. Номер моего паспорта четный.
  7. Номер зачетки отрицательный.

Конечно, для ответа надо дать определение "корректности" или допустимости высказываний. Это определение принадлежит Теории измерений и определяется типом шкалы.
Я потом его сформулирую. Но пока можно ответить и на интуитивном уровне.
Подсказка. Идея состоит в том, что одним и тем же объектам можно придать разные числовые значения. Например, вес в кг и фунтах. Дата "от Рождества Христова" и "с хиджры". Оценка в пяти- и в сто- балльной системе. Осмысленное высказывание (пусть даже ложное) не должно зависеть от выбора численной модели.

Определение корректности (допустимости) высказывания. Пусть у нас есть шкала, т.е. набор численных моделей, адекватных объекту. От одной модели можно перейти к другой допустимым преобразованием y = f(x) (такие преобразования образуют группу). Рассмогтрим некоторое высказывание о значениях параметра на одном или нескольких объектах: $%A(x_1, x_2, ..., x_n)$% - функция со значениями ИСТИНА и ЛОЖЬ. Если $%A(x_1, x_2, ..., x_n)=A(y_1, y_2, ..., y_n)$%, где $%y_i=f(x_i)$%, при любом допустимом преобразовании f, то высказывание A называется корректным (осмысленным).

Для фиксированной группы преобразований проверить осмысленность обычно легко. Проблема возникает в том, какие численные модели считать адекватными объекту? Именно из-за этого у нас вышел спор с А.Ю. по поводу предложения 6.

задан 21 Мар '12 20:32

изменен 23 Мар '12 0:30

Некорректно высказывание 7.

(22 Мар '12 0:26) sedan

А я считаю наоборот! Высказывание 7 ложно и тем самым осмысленно.
Представьте себе, что произошла перенумерация паспортов (или зачеток). При этом четные могут стать нечетными и наоборот. Так что высказывание 6 меняет значение истинности. Оно ничего не говорит ни о паспорте, ни о его владельце. А вот отрицательные номера документам не дают! Значит, высказывание 7 при любых перенумерациях останется ложным!

(22 Мар '12 0:45) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
0

Судя по вашим пояснениям, корректными Вы считаете утверждения, инвариантные относительно выбора шкал. Почему бы тогда их так и не назвать? Корректность - это более широкое и менее формализованное понятие. И его всегда нужно определять. Например, я в свое время столкнулся с проблемой корректности результатов вычислительного эксперимента: пришлось ввести такие понятия как "тип корректности" и "уровень корректности" и считать один и тот же результат корректным или некорректным в зависимости от установленных типа и уровня.

Ответ на Ваш вопрос такой.

  1. не инвариантны относительно выбора шкал (3)-(5)
  2. не полны с точки зрения описания эксперимента (2)-(6)
  3. ложное для стандартно принятых шкал и стандартных условий измерения утверждение (7)

Далее все зависит от того, как мы определим корректность, а это, в свою очередь, зависит от стандартов, принятых в соответствующей прикладной области.

ссылка

отвечен 22 Мар '12 12:41

изменен 27 Мар '12 18:29

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

Согласна с критикой. Я об этом упомянула. Думаю, с понятием "шкала" (и вообще теория измерений) знакомы далеко не все математики, а тем более, посетители форума. Поэтому я дала описание "на пальцах".
Только я бы сказала не "относительно выбора шкал", а "относительно выбранной шкалы". В данном случае - наиболее сильной шкалы, допустимой для объекта.

Теперь по существу. А разве утверждение (6) инвариантно относительно шкалы (номинальной в данном случае)?

Второй подход, примененный Вами, мне не знаком. Нельзя ли поподробнее?

(22 Мар '12 12:48) DocentI

Конечно, для номинальной шкалы утверждение (6) не имеет смысла, но в данном случае "измерение" сводится к прочтению и распознаванию уже написанного числа и можно включить в измерение и процесс распознавания напечатанных символов как целого числа. Тогда инвариантность относительно шкалы будет присутствовать в связи с отсутствием других шкал. По поводу корректности вычислительного эксперимента я обязательно напишу, когда будет чуть больше времени.

(22 Мар '12 13:18) Андрей Юрьевич

Не согласна. В каждом описанном случае берется одна численная модель из шкалы (шкала = множество адекватных численных моделей). Однако ясно, что все перечисленные объекты допускают и другую "нумерацию". А уж документы - тем более! Если считать (6) осмысленным, то мы сможем классифицировать паспорта (и людей) по четности их номера ... Довольно странная будет классификация.
Другое дело, если издать указ: "номера паспортов не подлежат изменению". Получим абсолютную шкалу.
Может, в этом и был бы смысл: тогда разными свойствами номеров можно "зашифровывать" информацию об объектах.

(22 Мар '12 13:46) DocentI

Людей по четности номера классифицировать, конечно нельзя, а паспорта - можно (например, для того, чтобы разделить очереди в паспортный стол).

(22 Мар '12 14:27) Андрей Юрьевич

Отчасти согласна: по настоящему о корректности высказывания можно говорить, если оно касается любой возможной нумерации, а не конкретной. Если нумерация фиксирована, то шкала превращается в абсолютную. Т.е. номера паспортов можно даже умножать. Точно так же, если законодательно закреплена единица стоимости (напр., копейка), то можно рассматривать и квадрат цены, и синус стоимости и т.п.
Я хотела сформулировать вопрос о номинальной шкале, но на "бытовом" уровне формулировка получается нестрогой.
Может, исправить так: "Номер паспорта данного человека четен". Ведь паспорта меняют!

(22 Мар '12 16:15) DocentI

Посмотрела свой вопрос: там написано: "номер моего паспорта четный". С учетом того, что у меня было уже три паспорта, это высказывание все равно некорректно!

(22 Мар '12 16:27) DocentI

Любая "бытовая" словесная формулировка всегда не полна, многое подразумевается. Если при общении пользоваться полными формулировками, речь станет очень громоздкой, а общение - тяжелым. Например, если Вы используете в предложении настоящее время, то подразумевается что содержание предложения относится именно к данному моменту времени, а не к прошлому и не к будущему. А в данный момент у Вас только один паспорт, у него вполне определенный номер, имеющий вполне определенную четность.

(22 Мар '12 17:52) Андрей Юрьевич
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2

задан
21 Мар '12 20:32

показан
672 раза

обновлен
27 Мар '12 18:29

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru