геометрия - Ортогональные группы

Если кратко, то вопрос можно сформулировать так: почему $%SO(5)$% не гомеоморфно $%S^4 \times SO(4)$%, но $%SO(4)$% гомеоморфно $%S^3 \times SO(3)$% и $%SO(3)$% гомеоморфно $%S^2 \times SO(2)$%. В последнем случае гомеоморфизм понятен - это представление поворота в виде единичного вектора, вокруг которого совершается поворот и, собственно, угол поворота вокруг этого вектора. В случае с $%SO(4)$% гомеоморфизм формально можно организовать с помощью кватернионов, правда, я не очень понимаю, как именно. В то же время, я думаю, можно привести соображения (ось вращения и углы поворота), аналогичные трёхмерному случаю. Почему такое рассуждение не проходит в высших размерностях? Какие алгебраические соображения (например, теорему Фробениуса) здесь можно привести? Спасибо!