|
Точки $%M$% и $%N$% лежат на параболах $%y=x^2-2x+2$% и $%y=-(x-9)^2$% соответственно. Вычислить наименьшее возможное значение расстояния $%MN$%. (Вроде бы задача несложная, но как ее решить в курсе школьной математике?) задан 12 Фев '14 20:12 
Танюша |
|
Достаточно подобрать такие точки, чтобы отрезок $%MN$% был перпендикулярен касательным, проведённым к параболам в точках $%M$% и $%N$%. Пусть $%a$%, $%b$% -- абсциссы точек $%M$%, $%N$%. Тогда их ординаты равны $%(a-1)^2+1$% и $%-(b-9)^2$%, соответственно. Угловой коэффициент каждой из касательных равен $%k=2(a-1)=-2(b-9)$%, откуда $%a+b=10$%. Угловой коэффициент прямой $%MN$% равен частному $$\frac{(a-1)^2+(b-9)^2+1}{a-b},$$ и он же равен $%-1/k$% ввиду перпендикулярности прямых. С учётом того, что $%a-1=k/2$%, $%b-9=-k/2$%, а также $%a-b=(k/2+1)-(9-k/2)=k-8$%, приходим к кубическому уравнению $%k^3+4k-16=0$%. Его корнем является $%k=2$%, и получается разложение на множители вида $%(k-2)(k^2+2k+8)=0$%, откуда видно, что других корней нет. Таким образом, $%a=2$%, $%b=8$%, $%M(2;2)$%, $%N(8;-1)$%, и расстояние $%MN$% равно $%3\sqrt5$%. Можно было просто найти подбором координаты точек $%M$%, $%N$%, а затем проверить перпендикулярность прямой $%MN$% и касательных. отвечен 12 Фев '14 21:14 
falcao |