|
Каким условиям должна удовлетворять определенная на R непрерывная функция v=f(u), чтобы функция p(x,y)=|f(x)-f(y)| задавала метрику на R? В ответе сказано, что она должна быть монотонной, а как это доказать и из чего следует -не могу понять. задан 12 Фев '14 20:22 
Яська |
|
Условие $%\rho(x,x)\ge0$% выполнено. Также должно выполняться условие $%\rho(x,y)=0\Rightarrow x=y$%. Это будет верно, если $%f$% инъективна. Симметричность $%\rho(x,y)=\rho(y,x)$% следует из определения, и то же касается неравенства треугольника: $%\rho(x,y)+\rho(y,z)=|f(x)-f(y)|+|f(y)-f(z)|\ge|f(x)-f(z)|=\rho(x,z)$%. Таким образом, для задания метрики необходима и достаточна инъективность функции $%f$%. Монотонность не обязательна, но она будет достаточным условием. Добавление. Я не сразу обратил внимание на то, что функция из условия является непрерывной. Для такого случая монотонности и инъективность равносильны (для функций с областью определения $%{\mathbb R}$%). Это легко вытекает из того факта, что непрерывная функция принимает все промежуточные значения. отвечен 12 Фев '14 20:42 
falcao То есть если функция монотонна то еще не факт, что p(x,y)-метрика?
(12 Фев '14 21:02)
Яська
1
Всякая монотонна функция инъективна, поэтому $%\rho$% будет метрикой. В общем случае инъективная функция не обязана быть монотонной, поэтому метрики будут задаваться и другими функциями. Но я не обратил внимания на то, что в условии говорится о непрерывной функции, а для этого случая оба условия равносильны.
(12 Фев '14 21:25)
falcao
|