Дано: r(радиус впис.окружности), l(c)(биссектриса на c). Найти катеты. Конечно можно воспотльзоваться тем, что r=c/2, и записать формулу биссетрисы, но выйдет уравнения высокой степени.

задан 13 Фев '14 18:02

изменен 14 Фев '14 23:05

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
1

Тут катеты $%a$% и $%b$% будут корнями некоторого квадратного уравнения. Формула получается не слишком красивая, но она выписывается в явном виде.

Пусть $%ABC$% -- треугольник с прямым углом $%C$%. Продолжим биссектрису $%CD$% за точку $%D$% до пересечения в точке $%E$% с прямой $%BE$%, параллельной $%AC$%. Легко видеть, что $%BCE$% -- равнобедренный прямоугольный, откуда $%BE=BC=a$%, а также $%CE=a\sqrt2$%, поэтому $%DE=a\sqrt2-l$%. Из подобия треугольников $%BED$% и $%ACD$% выводим равенство $%BE:AC=DE:DC$%, то есть $%\frac{a}b=\frac{a\sqrt2-l}l$%. Тем самым, $%l=\frac{ab\sqrt2}{a+b}$% (это следует и из формулы более общего вида, но мы ей не пользуемся).

Таким образом, $%\frac{a+b}{ab}=\frac{\sqrt2}{l}$%. С другой стороны, из формулы $%S=pr$% следует, что $%\frac{a+b+c}{ab}=\frac1r$%. Из этих двух равенств следует, что $%\frac{c}{ab}=\frac1r-\frac{\sqrt2}l$%. Возводя в квадрат, получаем $%\frac{a^2+b^2}{a^2b^2}=\frac1{r^2}+\frac2{l^2}-\frac{2\sqrt2}{rl}$%. При этом возведение в квадрат самого первого из полученных равенства (в начале абзаца) даёт $%\frac{a^2+b^2}{a^2b^2}+\frac2{ab}=\frac2{l^2}$%. Следовательно, $%\frac2{ab}=\frac{2\sqrt2}{rl}-\frac1{r^2}$%. Это значит, что $%ab=\frac{2r^2l}{2\sqrt2r-l}$%. Поскольку $%a+b=\frac{\sqrt2}lab$%, имеем $%a+b=\frac{2\sqrt2r^2}{2\sqrt2r-l}$%.

Зная сумму и произведение длин катетов, мы можем их выразить как корни соответствующего квадратного уравнения, с учётом теоремы Виета. Здесь $%D=(a-b)^2=(a+b)^2-4ab=\frac{8r^2}{(2\sqrt2r-l)^2}\cdot(r^2-2\sqrt2rl+l^2)$%. Тем самым, катеты имеют длины $$\frac{\sqrt2r}{2\sqrt2r-l}\left(r\pm\sqrt{r^2-2\sqrt2rl+l^2}\right).$$

ссылка

отвечен 13 Фев '14 20:14

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×760

задан
13 Фев '14 18:02

показан
529 раз

обновлен
13 Фев '14 20:14

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru