Интересная на мой взгляд задача.
Найдется ли для любого конечного набора цифр (a1, a2, ... ak) натуральное число n, десятичная запись квадратного корня из которого после запятой начинается именно этим набором?

задан 13 Фев '14 23:10

изменен 14 Фев '14 23:05

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
3

Существует. Более того, для каждого набора найдётся бесконечно много таких чисел.
Пусть в наборе $%k$% цифр. Тогда рассмотрим такое натуральное число $%n$%, для которого $%\sqrt{n+1}-\sqrt{n}<10^{-k}$% (такое, очевидно, найдётся, т.к. последовательность $%a_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$% монотонно убывает и стремится к 0).
Понятно, что если $%a_n < 10^{-k},$% то при переходе от $%n$% к $%n+1$% мы получаем либо непосредственно следующий, либо тот же набор из $%k$% цифр после запятой. Обозначим минимальное такое $%n$% как $%n_0(k).$%
Рассмотрим теперь число $%m=\lceil\sqrt{n_0(k)}\rceil^2.$% Т.к. $%m\geqslant n_0(k),$% для любой последовательности из $%k$% цифр сверху от $%m$% найдётся число, корень из которого после запятой начинается на эти $%k$% цифр. Более того, такое число можно найти между каждой парой чисел $%k^2, (k+1)^2$% при $%k \geqslant \sqrt{m}.$%
Вот и всё )

ссылка

отвечен 14 Фев '14 0:01

изменен 14 Фев '14 12:44

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,985

задан
13 Фев '14 23:10

показан
796 раз

обновлен
14 Фев '14 12:44

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru