алгебра - Извлечение квадратного корня

Существует. Более того, для каждого набора найдётся бесконечно много таких чисел.
Пусть в наборе $%k$% цифр. Тогда рассмотрим такое натуральное число $%n$%, для которого $%\sqrt{n+1}-\sqrt{n}<10^{-k}$% (такое, очевидно, найдётся, т.к. последовательность $%a_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$% монотонно убывает и стремится к 0).
Понятно, что если $%a_n < 10^{-k},$% то при переходе от $%n$% к $%n+1$% мы получаем либо непосредственно следующий, либо тот же набор из $%k$% цифр после запятой. Обозначим минимальное такое $%n$% как $%n_0(k).$%
Рассмотрим теперь число $%m=\lceil\sqrt{n_0(k)}\rceil^2.$% Т.к. $%m\geqslant n_0(k),$% для любой последовательности из $%k$% цифр сверху от $%m$% найдётся число, корень из которого после запятой начинается на эти $%k$% цифр. Более того, такое число можно найти между каждой парой чисел $%k^2, (k+1)^2$% при $%k \geqslant \sqrt{m}.$%
Вот и всё )