Найти минимальное соотношение $%K=\frac{100a+10b+c}{a+b+c}$%, где $%K$% - целое

задан 13 Фев '14 23:47

Какие здесь ограничения на величины $%a,b,c$%? Имеется ли в виду отношение трёхзначного числа к сумме его цифр?

(13 Фев '14 23:56) falcao

@falcao: да,извините, забыл указать. Исходя из того, что числитель должен быть минимальным, а знаменатель - максимальным, можно попробовать их вычесть и рассмотреть, как функцию, но у мен ничего особенного не вышло.

(14 Фев '14 10:19) kirill1771

@kirill. Нужно было сразу заявить задачу как задания С6 (пункт в) из ЕГЭ. А там есть еще одно ограничение на числа a,b,c. Трехзначное число не кратное 100. Это значит, что цифры b и c одновременно не равны нулю.

(14 Фев '14 11:01) nynko
1

Это задача - под задача из олимпиадного задания

(14 Фев '14 11:19) kirill1771

@kirill1771: я только что разместил решение, но не заметил, что в условии говорится о целом значении частного. Поскольку без этого ограничения задача также имеет смысл, я свой текст убирать не буду, но постараюсь добавить к нему отдельные соображения, относящиеся к тому варианту, про который спрашивается в задаче.

(14 Фев '14 14:19) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
4

В тех случаях, когда нужно найти максимум или минимум функции, заданной на "дискретном" множестве, бывает удобно применять такой подход: сравнивать значение функции в "соседних" точках, и смотреть, какое из них больше. Это аналогично применению производной в "непрерывном" случае, когда сравниваются значения в "близких" точках типа $%x$% и $%x+\Delta x$%.

Рассмотрим функцию $%f(a,b,c)=\frac{100a+10b+c}{a+b+c}$%, где выражение в числителе обозначим через $%p$%, а в знаменателе -- через $%q$%. Увеличим значение $%a$% на единицу, то есть рассмотрим число $%f(a+1,b,c)$%. Ясно, что числитель увеличится на $%100$%, а знаменатель на $%1$%, откуда $%f(a+1,b,c)-f(a,b,c)=\frac{p+100}{q+1}-\frac{p}q=\frac{100q-p}{q(q+1)} > 0$%, поскольку числитель равен $%100(a+b+c)-(100a+10b+c)=90b+99c > 0$%. В последнем неравенстве мы использовали то, что трёхзначное число в числителе не кратно 100. Полученное нами неравенство означает, что с увеличением $%a$% значение функции всегда увеличивается (дискретный аналог производной). Следовательно, для минимизации значения функции надо положить $%a=1$%.

Теперь аналогично поступаем с двумя другими переменными: $%f(a,b+1,c)-f(a,b,c)=\frac{p+10}{q+1}-\frac{p}q=\frac{10q-p}{q(q+1)} < 0$%, так как в числителе получается значение $%10(a+b+c)-(100a+10b+c)=-90a+9c < 0$%. Здесь было использовано то, что $%c$% является десятичной цифрой. Из этого неравенства вытекает, что значение функции уменьшается с увеличением $%b$%, поэтому надо положить $%b=9$%. Наконец, $%f(a,b,c+1)-f(a,b,c)=\frac{p+1}{q+1}-\frac{p}q=\frac{q-p}{q(q+1)} < 0$%, где неравенство $%q < p$% очевидно. Следовательно, $%c=9$%, и наименьшее значение дроби составляет $%\frac{199}{19}$%.

Добавление. С учётом того, что частное $%K$% должно быть целым, вносим следующее изменение. Нам уже известно, что $%K\ge\frac{199}{19} > 10$%, откуда $%K\ge11$%. Значение $%K=11$% достигается в случае дроби $%\frac{198}{18}$%.

ссылка

отвечен 14 Фев '14 14:16

изменен 14 Фев '14 14:40

@falcao: спасибо, не только за решение, но и за то, что объяснили подход к задачам такого типа.

(14 Фев '14 15:10) kirill1771
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,938

задан
13 Фев '14 23:47

показан
528 раз

обновлен
14 Фев '14 15:10

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru