|
Здравствуйте. Собственно условие : Имеется стандартная колода карт (52 карты 13-ти достоинств 2,3,4...Q,K,A в 4 мастях). Из колоды извлекается первая карта - семёрка. Далее добирается ещё 12 карт. Какова вероятность собрать 2 пары одинакового по достоинству карт ? 77 ХХ или же ХХ YY Возможно ли посчитать данную вероятность если добавить условие, что карты вытягиваются не одним махом, а в 4 захода по 3 карты, причём на каждом этапе одна карта выбрасывается и с ней уже не составить пару ? В этом случае к концу испытания на руках 9 карт. Спасибо. задан 14 Фев '14 18:49 
nom |
|
Пока по первой задаче, так как с её условием всё ясно. Подсчитаем вероятность "неуспеха". Возможно два случая: а) все карты из 12, помимо семёрок, имеют разное достоинство; б) среди взятых 12 карт имеются две карты одного достоинства, отличные от семёрок. Подсчитаем количество способов взять карты для того и другого случая. а) Среди 12 карт может быть от 0 до 3 семёрок включительно. Если семёрок 0, то мы берём по одной карте каждого из 12 видов. Способов для этого имеется $%4^{12}$%. Пусть семёрка берётся одна; для этого имеется 3 способа. Тогда мы добираем 11 карт, и карты какого-то достоинства не берём, а всего остального берём по одной штуке. Число способов здесь равно $%3C_{12}^1\cdot4^{11}$%. Если семёрок взято две (также 3 способа), то мы добираем 10 карт различных достоинств. Способов при этом будет $%3C_{12}^2\cdot4^{10}$%. Наконец, если семёрок три, то способов выбора оставшихся карт имеется $%C_{12}^3\cdot4^9$%. Способов этом пункте получается $$4^{12}+3C_{12}^1\cdot4^{11}+3C_{12}^2\cdot4^{10}+C_{12}^3\cdot4^9=433061888.$$ б) Во втором случае мы среди 12 карт не берём семёрок. Сначала мы 12 способами выбираем то достоинство карт, которое у нас будет присутствовать не менее двух раз. Если мы берём две одинаковые карты, то способов это сделать 6, и далее добираем 10 карт различного достоинства из 11 возможных. Последнее можно сделать $%11\cdot4^{10}$% способами. Если одинаковых карт берётся три, то способов для этого 4, а далее есть $%C_{11}^2\cdot4^9$% способов добрать 9 карт. Наконец, можно взять четыре одинаковых карты (одним способом), и далее добрать 8 карт $%C_{11}^3\cdot4^8$% способами. Итого в данном пункте получается величина $$12(6\cdot C_{11}^1\cdot4^{10}+4\cdot C_{11}^2\cdot4^9+C_{11}^3\cdot4^8)=1652293632.$$ Вместе получается $%2085355520$%, и эту величину делим на $%C_{51}^{12}=158753389900$%. Частное равно $%\frac{2424832}{184596965}\approx0,01313581727$%, а вероятность "успеха" составит приблизительно $%0,98686418279$%. отвечен 14 Фев '14 23:30 
falcao Здравствуйте. Правильно ли я понимаю, что посчитать вероятность с дополнительным условием не предоставляется возможным? Или же это вопрос времени? Спасибо.
(24 Фев '14 17:36)
nom
@nom: в задаче с выбрасыванием карт возникает слишком много разных случаев: в зависимости от того, что приходило на каждом шаге, что выбрасывали, и так далее. Я не думаю, что эти случаи можно охватить каким-то способом помимо прямого "механического" перебора. То есть это задача скорее не математическая, а компьютерно-вычислительная. По крайней мере, мне ничего другого в голову не пришло. Если вероятность интересует с чисто практической стороны, но её приближённо можно найти методом Монте-Карло.
(24 Фев '14 17:49)
falcao
|
Уточните, пожалуйста, правила игры для второго способа. Нужно понять, по какому принципу одна из карт выбрасывается. Здесь возможны разные толкования, поэтому хотелось бы увидеть как можно более точное описание.
Допустим логика следующая : В первом круге выбрасывается карта меньшего достоинства, в дальнейших - та, которая имеет меньше "благоприятных исходов в колоде".К примеру, если в первом круге выбыла девятка, и во втором приходит 4,5,9, то девятка выбрасывается, так как троек и четверок в колоде еще по 3, а девяток лишь 2. Если же в дальнейших кругах вытягиваются карты, которые еще не выбывали, то выбрасывается карта меньшего достоинства.
Я написал решение для первого варианта условия. Здесь подсчёт производится обычными методами, и вероятность оказывается близкой к 1. Для второго варианта хотелось бы ещё уточнить статус семёрок. Разрешено ли их вообще выбрасывать? Скажем, если мне пришли на первом заходе 7, 9, K, то ясно, что 7 невыгодно выбрасывать. Однако далее у меня может скопиться три семёрки, и тогда одну из них выбросить уже выгодно.
7 оставляем. три семерки - не беда, главное что бы было как минимум 2 пары. т.е. 777788899 - успех.