|
$$\frac{2x^2}{\sqrt{x+3}}+x\ge\sqrt{x+3}\Leftrightarrow 2\cdot\frac{x^2}{x+3}+\frac x{\sqrt{x+3}}-1\ge 0$$ Обознаим $%\frac x{\sqrt{x+3}}=t,$% получим квадратичное неравенство $% 2t^2+t-1\ge0\Leftrightarrow t\in(-\infty;-1]\cup [\frac12;\infty).$% $%\left[\begin{aligned}\frac x{\sqrt{x+3}}\le-1 \\ \frac x{\sqrt{x+3}}\ge \frac12\end{aligned}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}0<\sqrt{x+3}\le-x \\ 0<\sqrt{x+3}\le 2x\end{aligned}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{aligned} \begin{cases} 0< x+3 \le x^2 \\ -3< x < 0 \end{cases} \\ \begin{cases} 0< x+3 \le 4x^2 \\ x > 0 \end{cases}\end{aligned}\right.\Leftrightarrow $% $% \Leftrightarrow\left[\begin{aligned} x\in(-3;\frac{1-\sqrt{13}}2]\cup [\frac{1+\sqrt{13}}2;+\infty)\\ x\in[1;+\infty) \end{aligned}\right.\Leftrightarrow x\in (-3;\frac{1-\sqrt{13}}2]\cup [1;+\infty)$% отвечен 14 Фев '14 22:08 
ASailyan |
|
Надо ввести обозначение $%t^2=x+3>0,x>-3,\; t=\sqrt{x+3},\; x=t^2-3,x^2=(t^2-3)^2$%. Тогда$$\frac{2(t^2-3)^2+(t^2-3)t-t^2}{t}\geq 0,$$$$\frac{2t^4+t^3-13t-3t+18}{t}\geq0,\; $$Разложим числитель на множители $$2(t-2)(t+1,5)(t^2+t-3)=2(t-2)(t+1,5)(t+\frac{1+\sqrt{13}}{2})(t-\frac{\sqrt{13}-1}{2})=0$$$$t\in[-\frac{1+\sqrt{13}}{2};-1,5]U(0;\frac{\sqrt{13}-1}{2}]$$ Остаётся перейти кпеременной х. отвечен 14 Фев '14 21:15 
Анна-Мария |
Сделаю одно маленькое замечание. Основная идея -- временно рассмотреть $%\sqrt{x+3}$% как независимый параметр (скажем, $%a$%). Тогда получается квадратичное неравенство от $%x$% с "хорошим" значением дискриминанта, откуда получается разложение на множители. Во всех приведённых здесь решениях эта особенность задачи в той или иной форме использована.