$%\begin{cases}x^2-y\sqrt{xy}=36 \\ y^2-x\sqrt{xy}=72 \end{cases} $%

задан 15 Фев '14 2:26

10|600 символов нужно символов осталось
3

Очевидно, что $%x\ne0$%, $%y\ne0$%. Тогда $%xy > 0$%, и числа либо одновременно положительны, либо одновременно отрицательны. Первый случай сразу приводит к противоречию, потому что получается $%\sqrt{x}(x\sqrt{x}-y\sqrt{y})=36$% и $%\sqrt{y}(y\sqrt{y}-x\sqrt{x})=72$%, что невозможно по причине разницы в знаках. Поэтому оба числа отрицательны, и тогда удобно сделать замену $%a=-x$%, $%b=-y$%, решив систему из двух уравнений $%a^2+b\sqrt{ab}=36$%, $%b^2+a\sqrt{ab}=72$% в положительных числах. Поделив второе уравнение на первое и сократив на $%a\sqrt{a}+b\sqrt{b}$%, приходим к равенству $%\sqrt{b}=2\sqrt{a}$%, то есть $%b=4a$%. Избавляясь от $%b$% в первом уравнении, получаем $%a=2$%, откуда $%b=8$%. Второму уравнению эти числа автоматически удовлетворяют. Значит, исходная система имеет единственное решение $%(x;y)\in\{(-2;-8)\}$%.

ссылка

отвечен 15 Фев '14 3:12

10|600 символов нужно символов осталось
2

$$\begin{cases}x^2-y\sqrt{xy}=36 \\ y^2-x\sqrt{xy}=72 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x^2-y\sqrt{xy}=36, \\ \Large \frac{\frac{y^2-x\sqrt{xy}}{y\sqrt{xy}}}{\frac{x^2-y\sqrt{xy}}{y\sqrt{xy}}}=\normalsize2 \end{cases},\Leftrightarrow\begin{cases}x^2-y\sqrt{xy}=36, \\ \Large\frac{\pm\sqrt{\frac{y}{x}}-\frac{x}{y}}{\pm\frac{x}{y}\sqrt{\frac{x}{y}}-1}=\normalsize 2, \end{cases}\Leftrightarrow$$$$\Leftrightarrow\begin{cases}x^2-y\sqrt{xy}=36, \\\Large \frac{-\sqrt{\frac{y}{x}}-\frac{x}{y}}{-\frac{x}{y}\sqrt{\frac{x}{y}}-1}=\normalsize2,\\x,y<0, \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x^2-y\sqrt{xy}=36, \\\frac{y}{x}=4,\\x,y<0, \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x=-2\\y=-8.\end{cases}$$

ссылка

отвечен 15 Фев '14 19:32

изменен 16 Фев '14 1:35

ASailyan's gravatar image


15.7k11132

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,985

задан
15 Фев '14 2:26

показан
932 раза

обновлен
16 Фев '14 1:35

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru