В основании пирамиды SABCD лежит выпуклый четырехугольник ABCD, диагонали которого АВ и BD пересекаются в точке О под прямым углом, так что ВО = ОD = 3, АО = 3, ОС = 27. Вершина S проектируется на плоскость основания в точку О, а угол SAC = arctg3. Найдите расстояние между прямыми АС и SD. Рассмотрите плоскость, параллельную ВD, проходящую на расстоянии (sqrt(6))/2 от вершины S и пересекающую ребра SA и SC в точках А1 и С1 соответственно. Найдите площадь сечения пирамиды указанной плоскостью, если известно, что периметр треугольника SA1C1 минимально возможный. Расстояние между скрещивающимися прямыми АС и BD у меня найдено. Оно равно 9/sqrt(10). Но как ответить на второй вопрос задачи не знаю.

задан 15 Фев '14 13:31

10|600 символов нужно символов осталось
1

Легко проверить, что угол $%ASC$% является прямым. Исходя из этого, можно доказать, что минимальный периметр треугольника $%SA_1C_1$% получается при условии, когда $%SA_1=SC_1$%. Действительно, если из точки $%S$% опустить перпендикуляр на $%A_1C_1$%, то он будет иметь длину $%r=\sqrt6/2$%, а углы, на который он делит прямой угол $%ASC$%, можно принять за $%x$% и $%\frac{\pi}2-x$%. Тогда $%A_1C_1=r(\tan x+\tan(\frac{\pi}2-x))$%, то есть надо минимизировать сумму тангенса и котангенса. Поскольку она равна $%\frac1{\sin x\cos x}=\frac2{\sin2x}$%, минимум будет достигаться при максимуме знаменателя, то есть при $%x=\frac{\pi}4$%. А это будет значить, что высота треугольника $%SA_1C_1$% будет биссектрисой, откуда $%SA_1=SC_1=r\sqrt2=\sqrt3$%.

Теперь мы знаем, что $%A_1C_1=\sqrt6$%, и надо провести прямую, параллельную $%BD$%, через точку $%K$% пересечения высоты $%SO$% пирамиды с отрезком $%A_1C_1$%. Точки пересечения этой прямой с рёбрами $%SB$% и $%SD$% мы обозначим через $%B_1$% и $%D_1$% соответственно. Искомым сечением будет четырёхугольник $%A_1B_1C_1D_1$%. Его диагонали перпендикулярны, поэтому для нахождения площади достаточно найти длину диагонали $%B_1D_1$%.

Нам достаточно знать отношение $%B_1D_1:BD$%, а оно равно $%SK:SO$%, то есть достаточно найти $%SK$%. Это можно сделать из треугольника $%SKL$%, где $%L$% -- середина $%A_1C_1$% (она же -- основание высоты, опущенной из $%S$% на $%A_1C_1$%). Мы знаем, что тангенс угла $%ASO$% равен 1/3, и тогда можно найти тангенс угла $%KSL$% как тангенс разности углов $%\frac{\pi}4$% и $%ASO$%. Получается 1/2, откуда находится $%SK$%.

ссылка

отвечен 15 Фев '14 22:00

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×533

задан
15 Фев '14 13:31

показан
571 раз

обновлен
15 Фев '14 22:00

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru