стереометрия - Площадь сечения

Легко проверить, что угол $%ASC$% является прямым. Исходя из этого, можно доказать, что минимальный периметр треугольника $%SA_1C_1$% получается при условии, когда $%SA_1=SC_1$%. Действительно, если из точки $%S$% опустить перпендикуляр на $%A_1C_1$%, то он будет иметь длину $%r=\sqrt6/2$%, а углы, на который он делит прямой угол $%ASC$%, можно принять за $%x$% и $%\frac{\pi}2-x$%. Тогда $%A_1C_1=r(\tan x+\tan(\frac{\pi}2-x))$%, то есть надо минимизировать сумму тангенса и котангенса. Поскольку она равна $%\frac1{\sin x\cos x}=\frac2{\sin2x}$%, минимум будет достигаться при максимуме знаменателя, то есть при $%x=\frac{\pi}4$%. А это будет значить, что высота треугольника $%SA_1C_1$% будет биссектрисой, откуда $%SA_1=SC_1=r\sqrt2=\sqrt3$%.

Теперь мы знаем, что $%A_1C_1=\sqrt6$%, и надо провести прямую, параллельную $%BD$%, через точку $%K$% пересечения высоты $%SO$% пирамиды с отрезком $%A_1C_1$%. Точки пересечения этой прямой с рёбрами $%SB$% и $%SD$% мы обозначим через $%B_1$% и $%D_1$% соответственно. Искомым сечением будет четырёхугольник $%A_1B_1C_1D_1$%. Его диагонали перпендикулярны, поэтому для нахождения площади достаточно найти длину диагонали $%B_1D_1$%.

Нам достаточно знать отношение $%B_1D_1:BD$%, а оно равно $%SK:SO$%, то есть достаточно найти $%SK$%. Это можно сделать из треугольника $%SKL$%, где $%L$% -- середина $%A_1C_1$% (она же -- основание высоты, опущенной из $%S$% на $%A_1C_1$%). Мы знаем, что тангенс угла $%ASO$% равен 1/3, и тогда можно найти тангенс угла $%KSL$% как тангенс разности углов $%\frac{\pi}4$% и $%ASO$%. Получается 1/2, откуда находится $%SK$%.