2
1

$$Пусть \ α — корень \ уравнения \ x^3+1=2011x. Найдите \ один \ из \ корней \ уравнения \ x^3+1=2011x^2.$$ Дайте идею решения

задан 15 Фев '14 16:32

изменен 15 Фев '14 16:54

2

Основная идея состоит в том, что если у какого-то уравнения типа $%3x^5-x^4+2x^3-x^2+7=0$% имеется корень $%\alpha\ne0$%, то число $%1/\alpha$% будет корнем уравнения той же степени, коэффициенты которого расположены в обратном порядке. В данном случае это $%7x^5+0x^4-x^3+2x^2-x+3=0$%. Чтобы доказать это, достаточно разделить на $%\alpha^5$% первое уравнение.

(15 Фев '14 18:55) falcao

то есть ответ 1/а

(15 Фев '14 20:33) parol

а вот можно эту задачу по другому решить , на основе каких то других соображений

(15 Фев '14 20:40) parol

можно еще так если поделить первое и второе на х и x^2 соответственно то $$x^2+\frac{1}{x}=2011$$ $$x+\frac{1}{x^2}=2011$$ то есть здесь видна симметрия

(15 Фев '14 20:52) parol

Здесь алгебраический "механизм" сам по себе достаточно однозначный. Ответ не зависит от способа решения, поэтому чего-то принципиально другого ожидать трудно. Своего рода симметрию здесь можно усмотреть, разделив первое уравнение на $%x^3$%. При этом получится $%1+(1/x)^3=2011(x^{-1})^2$%. Из этого ясно, что $%1/x$% является корнем второго уравнения. Способ решения можно выбирать любой -- лишь бы он был математически правильным.

(15 Фев '14 22:12) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,490
×3,683
×525

задан
15 Фев '14 16:32

показан
795 раз

обновлен
15 Фев '14 22:12

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru