пространство - Полнота системы функций

Рассмотрим числовую последовательность $%x_n$% ($%n\ge1$%), фундаментальную в метрике $%\rho$%. Поскольку неравенства $%\rho(x_m,x_n) < \varepsilon$% и $%|x_m^3-x_n^3| < \varepsilon$% означают одно и то же, последовательность $%x_n^3$% будет фундаментальной в обычной метрике на $%{\mathbb R}$%, задаваемой модулем разности чисел. По критерию Коши, эта последовательность имеет предел $%x\in{\mathbb R}$%. Тогда число $%\sqrt[3]x$% будет пределом последовательности $%x_n$% в метрике $%\rho$% ввиду того, что $%\rho(x_n,\sqrt[3]x)=|x_n^3-x|$%. Следовательно, вещественная прямая с метрикой $%\rho$% будет полным метрическим пространством.