Через вершины правильного 6ка проведены 6 различных параллельных прямых.Может ли оказаться так, что все попарные расстояния между этими прямыми являются целыми числами?

задан 16 Фев '14 18:18

10|600 символов нужно символов осталось
2

Рассмотрим правильный шестиугольник, вершины которого расположены на окружности радиуса 2 с центром в начале координат. Это будут точки $%(\pm2;0)$%, $%(\pm1;\pm\sqrt3)$%. Проведём через каждую из них прямую с угловым коэффициентом $%k=3\sqrt3/13$%. Легко видеть, что все эти прямые будут различны. Коэффициент выбран из тех соображений, что число $%\sqrt{k^2+1}=14/13$% является рациональным.

Расстояние между параллельными прямыми вида $%y=kx+b_1$% и $%y=kx+b_2$% находится по формуле $%d=\frac{|b_1-b_2|}{\sqrt{k^2+1}}$%. Уравнение прямой с угловым коэффициентом $%k$%, проходящей через точку $%(x_0;y_0)$%, имеет вид $%y=k(x-x_0)+y_0$%. С учётом того, что все абсциссы вершин шестиугольника рациональны, а ординаты пропорциональны $%\sqrt3$% с рациональным коэффициентом, и то же самое верно насчёт $%k$%, оказывается, что все свободные члены уравнений, задающих параллельные прямые, также пропорциональны $%\sqrt3$%. Из формулы для расстояния следует, что все попарные расстояния между прямыми будут иметь вид $%q\sqrt3$%, где $%q\in{\mathbb Q}$%. Увеличивая масштаб в $%N/\sqrt3$% раз, где $%N$% -- общий знаменатель всех рассматриваемых рациональных дробей (в данном случае он равен 7), добиваемся того, чтобы все попарные расстояния стали целыми.

ссылка

отвечен 16 Фев '14 19:43

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,987

задан
16 Фев '14 18:18

показан
848 раз

обновлен
16 Фев '14 19:43

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru