|
Докажите, что для любого натурального $%n$% число $%n^2+n+2$% не делится на $%49.$% задан 16 Фев '14 23:25 
xmath |
|
$%n^2+n+2=n(n+1)+2.$% Любое натуральное число можно представить в одном из видов: $%7k;7k+1;7k+2;7k+3;7k-3;7k-2;7k-1\quad k\in N\cup{0}.$% Подставляя в выражение $%n^2+n+2=n(n+1)+2$% эти представления для $%n,$% легко проверить утверждение задачи. отвечен 17 Фев '14 16:45 
Anatoliy |
|
Предположим, что $%n^2+n+2$% кратно 49. Тогда это же число кратно 7. Если к нему прибавить $%-7n+7$%, то получится делящееся на 7 число $%n^2-6n+9=(n-3)^2$%, и тогда $%n-3$% делится на 7. Из этого теперь следует, что его квадрат делится на 49. Но тогда на 49 должна делиться разность чисел $%n^2+n+2$% и $%n^2-6n+9$%, равная $%7(n-1)$%. Получается, что на 7 делится число $%n-1$%, но у нас на 7 делится $%n-3$%, и одновременно так быть не может. Конец доказательства можно было ещё оформить так: записать $%n=7k+3$% для некоторого целого $%k$% (после того, как стала известна делимость $%n-3$% на 7), и тогда $%n^2+n+2=n(n+1)+2=(7k+3)(7k+4)+2=49k^2+49k+14$%, что на 49 явно не делится. отвечен 16 Фев '14 23:44 
falcao |