|
Докажите, что если любая плоскость, пересекающая одну из двух данных прямых, пересекает и вторую, то эти две прямые параллельны задан 17 Фев '14 14:16 
rumotameru |
|
В пространстве возможны три случая расположения прямых: 1) Прямые пересекаются. В этом случае существует плоскость, которая пересекает одну из этих прямых и не пересекает вторую (это очевидно). 2) Прямые скрещивающие. Возьмем, например, две взаимно перпендикулярные скрещивающие прямые, тогда плоскость, которая перпендикулярна одной из них может не пересекать вторую. 3) Прямые параллельны. В этом случае прямая пересечения плоскости параллельных прямых и произвольной плоскости, должна пересекать каждую из параллельных прямых. В противном случае имеем противоречие с аксиомой Евклида. отвечен 17 Фев '14 16:23 
Anatoliy |
|
Пусть прямые $%a$% и $%b$%, такие, что любая плоскость, пересекающая одну из двух данных прямых, пересекает и вторую, но $%a\nparallel b.$% Возмём точку $%A\in a$% , и через точку $%A$% проведем прямую $%b_1\parallel b,$% и ещё одну прямую $%c,$% которая не лежит в плоскости проходящий через прямые $%a$% и $%b_1.$% Тогда плоскость $%\alpha,$% которая проходит через прямие $%a$% и $%b_1,$% пересекает $%a,$% потому что имеет с ней общую точку $%A,$% но по построению $%a$% не лежит в плоскости $%\alpha.$% Значит $%\alpha$% пересекает $%a,$% а поскольку $%b\parallel b_1, b_1\subset \alpha,$% значит $%b\subset\alpha, $% или $%b||\alpha.$% И так существует плоскость ( например плоскость $%\alpha$%) которая персекает $%a,$% но не пересекает $%b.$% Полученное противоречие доказывает,что $%a\parallel b.$% отвечен 17 Фев '14 14:58 
ASailyan |