|
Скорее всего выложу несколько уравнений (в разных вопросах). Вот первое: $%\sqrt{(4+\sqrt{15})^x}+\sqrt{(4-\sqrt{15})^x}=\sqrt{8^x}$% Что я заметил: $%\sqrt{(4+\sqrt{15})}\times\sqrt{(4-\sqrt{15})}=1$%, поэтому можно сделать замену $%\sqrt{(4+\sqrt{15})}=t$%, тогда уравнение приобретает вид: $%t^x+t^{-x}=\sqrt8^x$%, дальше я очень много перепробовал вариантов, но ничего дельного не вышло задан 17 Фев '14 19:10 
kirill1771 |
|
$$\sqrt{(4+\sqrt{15})^x}+\sqrt{(4-\sqrt{15})^x}=\sqrt{8^x}\Leftrightarrow\sqrt{(\frac{4+\sqrt{15}}{8})^x}+\sqrt{(\frac{4-\sqrt{15}}{8})^x}=1\Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow\begin{cases}sin^2\alpha=\frac{4+\sqrt{15}}{8},\\(sin\alpha)^x+(cos\alpha)^x=1,\end{cases}...$$ отвечен 17 Фев '14 20:11 
Anatoliy @Anatoliy: спасибо, очень интересное решение. Как вы да него дошли? Я позже отмечу ваш ответ, так как интересно, может у кого-то будут еще другие варианты решений.
(17 Фев '14 20:16)
kirill1771
|
|
Источник:Пособие для поступающих.Издание МГУ отвечен 17 Фев '14 20:15 
epimkin @epimkin: а то, что корень этого уравнения будет $%2$% вы определили подбором? (или я чего-то недопонял)
(17 Фев '14 20:21)
kirill1771
|
|
Очевидно, что $%x=2$% является решением уравнения. Остается доказать ,что других решений нет. $%\sqrt{(4+\sqrt{15})^x}+\sqrt{(4-\sqrt{15})^x}=\sqrt{8^x}\Leftrightarrow \Large (\sqrt{\frac{(4+\sqrt{15}}8})^x+(\sqrt{\frac{(4-\sqrt{15}}8})^x=\normalsize 1.$% Рассмотрим функцию $%f(x)=\Large (\sqrt{\frac{(4+\sqrt{15}}8})^x+(\sqrt{\frac{(4-\sqrt{15}}8})^x, $% она монотонно убывает как сумма двух убивающих показательных функций(основания меньше $%1$%),следовательно функция принимает каждое своё значение (включая и значение $%1$%)только в одной точке.Это озночает, что уравнение имеет одно решение $%x=2.$% отвечен 17 Фев '14 20:27 
ASailyan @ASailyan:это ведь тоже будет считаться полноценным решением, если, например, на экзамене попадется?
(17 Фев '14 20:31)
kirill1771
2
Конечно, ведь решить уравнение значит найти все корни уравнения,или доказать что их нет.
(17 Фев '14 20:53)
ASailyan
|