Скорее всего выложу несколько уравнений (в разных вопросах). Вот первое: $%\sqrt{(4+\sqrt{15})^x}+\sqrt{(4-\sqrt{15})^x}=\sqrt{8^x}$%

Что я заметил: $%\sqrt{(4+\sqrt{15})}\times\sqrt{(4-\sqrt{15})}=1$%, поэтому можно сделать замену $%\sqrt{(4+\sqrt{15})}=t$%, тогда уравнение приобретает вид: $%t^x+t^{-x}=\sqrt8^x$%, дальше я очень много перепробовал вариантов, но ничего дельного не вышло

задан 17 Фев '14 19:10

изменен 17 Фев '14 23:12

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
3

$$\sqrt{(4+\sqrt{15})^x}+\sqrt{(4-\sqrt{15})^x}=\sqrt{8^x}\Leftrightarrow\sqrt{(\frac{4+\sqrt{15}}{8})^x}+\sqrt{(\frac{4-\sqrt{15}}{8})^x}=1\Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow\begin{cases}sin^2\alpha=\frac{4+\sqrt{15}}{8},\\(sin\alpha)^x+(cos\alpha)^x=1,\end{cases}...$$

ссылка

отвечен 17 Фев '14 20:11

изменен 17 Фев '14 20:13

@Anatoliy: спасибо, очень интересное решение. Как вы да него дошли? Я позже отмечу ваш ответ, так как интересно, может у кого-то будут еще другие варианты решений.

(17 Фев '14 20:16) kirill1771
1

В процессе рассмотрения этого уравнения возник такой вариант.

(17 Фев '14 20:22) Anatoliy
10|600 символов нужно символов осталось
2

link text

link text

link text

Источник:Пособие для поступающих.Издание МГУ

ссылка

отвечен 17 Фев '14 20:15

изменен 17 Фев '14 23:12

Deleted's gravatar image


126

@epimkin: а то, что корень этого уравнения будет $%2$% вы определили подбором? (или я чего-то недопонял)

(17 Фев '14 20:21) kirill1771
1

@kirill1771 ,подбором

(17 Фев '14 20:31) epimkin

@epimkin, вы не могли бы дать точное название или ссылку на файл.

(19 Фев '14 15:56) IvanLife

@IvanLife С.В.Кравцев и др. "Методы решения задач по алгебре" стр.159. У меня в бумажном варианте

(19 Фев '14 16:11) epimkin
10|600 символов нужно символов осталось
2

Очевидно, что $%x=2$% является решением уравнения. Остается доказать ,что других решений нет.

$%\sqrt{(4+\sqrt{15})^x}+\sqrt{(4-\sqrt{15})^x}=\sqrt{8^x}\Leftrightarrow \Large (\sqrt{\frac{(4+\sqrt{15}}8})^x+(\sqrt{\frac{(4-\sqrt{15}}8})^x=\normalsize 1.$%

Рассмотрим функцию $%f(x)=\Large (\sqrt{\frac{(4+\sqrt{15}}8})^x+(\sqrt{\frac{(4-\sqrt{15}}8})^x, $% она монотонно убывает как сумма двух убивающих показательных функций(основания меньше $%1$%),следовательно функция принимает каждое своё значение (включая и значение $%1$%)только в одной точке.Это озночает, что уравнение имеет одно решение $%x=2.$%

ссылка

отвечен 17 Фев '14 20:27

@ASailyan:это ведь тоже будет считаться полноценным решением, если, например, на экзамене попадется?

(17 Фев '14 20:31) kirill1771
2

Конечно, ведь решить уравнение значит найти все корни уравнения,или доказать что их нет.

(17 Фев '14 20:53) ASailyan
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×5,021
×948

задан
17 Фев '14 19:10

показан
1010 раз

обновлен
19 Фев '14 16:11

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru