0
1

Найти наибольшее трёхзначное число, кратное сумме своих цифр и в котором первая цифра совпадает с третьей, но не совпадает со второй.

задан 18 Фев '14 15:56

изменен 19 Фев '14 20:12

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
2

Пусть $%a$% -- первая цифра числа (она же -- третья), $%b$% -- вторая цифра. Тогда число равно $%101a+10b$%, и оно кратно $%2a+b$%.

Чтобы получить как можно большее число, попробуем положить $%a=9$%. Тогда $%909+10b$% кратно $%b+18$%. Ввиду того, что $%10b+180$% тоже кратно $%b+18$%, получаем, что разность $%(909+10b)-(180+10b)=729$% кратна $%b+18$%. Число $%729$% равно $%3^6$%, и его делителями являются только степени числа 3. Нам могло бы подойти только 27, но при этом $%b=9$%. Следовательно, $%a\ne9$%.

Пробуем теперь взять $%a=8$%. Здесь получается, что $%808+10b$% кратно $%b+16$%. То же верно для $%10b+160$%, а потому и для разности, равной $%808-160=648$%. Это число имеет вид $%2^3\cdot3^4$%, и при $%0\le b\le9$% его делители в пределах от 16 до 25 могут принимать только значения 18 и 24. Второй случай означал бы, что $%b=8$%. Значит, $%b=2$%, и ответом будет число 828.

ссылка

отвечен 18 Фев '14 20:14

1) Исходя из чего получилось, что число 101а+10b кратно 2а+b? 2) Для чего находить разность чисел 909+10b и 180+10b (I разность)и 808-160 (II разность)? 3) Почему взят предел чисел от 16 до 25 и почему они могут принимать значения только 18 и 24?

(21 Фев '14 12:05) Dromni86
1

Если цифры числа имеют вид aba, то оно равно 100a+10b+a=101a+10b. Сумма цифр при этом равна a+b+a=2a+b. По условию, наше число кратно своей сумме цифр.

Разность я брал для того, чтобы получилось, что некая константа (а именно, 729) будет делиться на 2a+b. Это даёт ограничения на возможные значения числа. Пользовался я свойством делимости: если два числа кратны чему-то, то их разность кратна тому же.

Поскольку b цифра, она принимает значения от 0 до 9. Тогда b+16 заключено между 16 и 25. Среди этих подходят только 18 и 24, так как 648 не делится ни на что другое (т.е. на 16, 17, 19 и т. д.).

(21 Фев '14 14:38) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,849

задан
18 Фев '14 15:56

показан
3392 раза

обновлен
21 Фев '14 14:38

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru