алгебра - Найти наименьшее значение

Напишу здесь, но это не следует считать ответом. Просто выше нет места для комментариев даже после того, как я несколько лишних удалил. (Честно говоря, я совершенно не понимаю принципа, по которому вводятся эти ограничения. Было 8 комментариев, три удалили, осталось 5, и шестой по каким-то странным причинам не разрешается добавить.)

Спасибо за ссылку на книгу. Там, насколько я успел увидеть, разбирается похожий пример из другого варианта. У меня пока не было времени это всё как следует изучить. Но сегодня надеюсь успеть это сделать. При такой постановке задачи становится интересно понять, возможно ли "обходное" решение средствами только алгебры. При этом оно, конечно, должно быть "обозримым".

Добавление. Я в итоге разобрался. Тут всё делается чисто алгебраическим путём, причём достаточно просто. Я это осознал после того, как выяснилось, что на самом деле из всех этих неравенств должны вытекать соответствующие равенства. Если заранее знать, что так получится, то доказать этот факт довольно легк. А я когда пытался думать над этой задачей, то вводил все положенные косинусы и "штрихованные" углы, но у меня не хватило терпения довести всё это до конца. Переменных было слишком много, получались какие-то неравенства, но я не довёл эти рассуждения до какого-либо завершения.

Вот алгебраическое доказательство. Первое неравенство перепишем в виде $%at\le c-bu$%. Числа в обеих частях положительные, и можно возвести неравенство в квадрат. Получится $%a^2t^2\le c^2+b^2u^2-2bcu$%, что можно переписать в виде $%c^2-2bcu\ge a^2t^2-b^2u^2$%.

Из второго неравенства системы имеем $%c^2-2bcu\le a^2-b^2$%. Как следствие, получаем $%a^2-b^2\ge a^2t^2-b^2u^2$%, то есть $%a^2(1-t^2)\ge b^2(1-u^2)$%. Можно извлечь корни, получая неравенство $%a\sqrt{1-t^2}\ge b\sqrt{1-u^2}$%.

Теперь проанализируем третье неравенство системы, которое можно переписать как $%c^2-2bcu\le\frac{b^2(1-u^2)}{1-t^2}-b^2$%. Используя одно из предыдущих неравенств, в котором $%c^2-2bcu$% оценено снизу, заключаем, что $%a^2t^2-b^2u^2\le\frac{b^2(1-u^2)}{1-t^2}-b^2$%. Домножая на положительное число $%1-t^2$% и преобразуя, имеем $%a^2t^2(1-t^2)\le b^2(1-u^2)-b^2(1-u^2)(1-t^2)=b^2t^2(1-u^2)$%. После сокращения на $%t^2$% и извлечения корней имеем $%a\sqrt{1-t^2}\le b\sqrt{1-u^2}$%. Сравнивая с одним из полученных выше неравенств для тех же чисел, приходим к выводу, что $%a\sqrt{1-t^2}=b\sqrt{1-u^2}$%. Более того, все неравенства из условия задачи при этом оказываются равенствами: если хотя бы одно из неравенств оказалось строгим, то мы в качестве следствия не получили бы установленного только что равенства.

Осталось теперь заметить, что в выражении для "целевой" функции $$\frac{1}{c}(\frac{3a}{\sqrt{1-u^2}}+\frac{b}{\sqrt{1-t^2}}),$$ значение которой требуется минимизировать, значения двух дробей (без учёта коэффициента 3) равны между собой. Поэтому функция равна $%\frac{4a}{c\sqrt{1-u^2}}$%. Воспользуемся первым из условий системы, про которое мы теперь знаем, что оно является равенством: $%c=at+bu$%. Домножая на $%\sqrt{1-u^2}$%, имеем $%c\sqrt{1-u^2}=at\sqrt{1-u^2}+bu\sqrt{1-u^2}=at\sqrt{1-u^2}+au\sqrt{1-t^2}$% с использованием равенства, которое связывает между собой $%a$% и $%b$%. Тем самым, $%\frac{c\sqrt{1-u^2}}a=t\sqrt{1-u^2}+u\sqrt{1-t^2}$%, и "целевая" функция оказывается равна $$\frac4{t\sqrt{1-u^2}+u\sqrt{1-t^2}}.$$

При $%t=u=1/\sqrt{2}$% знаменатель дроби равен 1. Значение дроби при этом равно 4, и оно будет наименьшим, поскольку при всех $%t,u\in(0;1)$% справедливо неравенство $%t\sqrt{1-u^2}+u\sqrt{1-t^2}\le1$%. Оно имеет довольно просто геометрический смысл (левую часть можно представить как синус суммы). Но его нетрудно доказать и чисто алгебраическим путём. Если записать его в виде $%t\sqrt{1-u^2}\le1-u\sqrt{1-t^2}$% и возвести в квадрат (обе части положительны), то получится $%t^2(1-u^2)\le1+u^2(1-t^2)-2u\sqrt{1-t^2}$%, что равносильно верному неравенству $%(u-\sqrt{1-t^2})^2\ge0$%.

Таким образом, наименьшее значение равно 4.