Эта задача из раздела геометрия. У меня вопрос можно ли решить эту задачу не привлекая геометрию при этом. (решать не обязательно!) идею хотя бы подкиньте. $$a,b,c,t,u$$ -положительные числа удовлетворяющие условиям. $$at+bu \leq c$$ $$a^2+2bcu \geq b^2+c^2$$ $$b^2\frac{t^2-u^2}{t^2-1}+c^2\leq2bcu$$ Найти наименьшее значение величины $$\frac{1}{c}(\frac{3a}{\sqrt{1-u^2}}+\frac{b}{\sqrt{1-t^2}})$$ !!!

задан 18 Фев '14 16:10

изменен 21 Фев '14 20:21

Было бы неплохо сначала ознакомиться с тем решением этой задачи, которое уже имеется. Здесь напрашивается что-то вроде тригонометрических замен. Скорее всего, такого рода решение и было бы наиболее естественным. При наличии какого-то решения, опирающегося на геометрию или тригонометрию, можно было бы при желании "конвертировать" его во что-то чисто алгебраическое. Правда, я не уверен в том, что это дало бы что-то кроме искусственно придуманного рассуждения. Но попробовать можно.

(21 Фев '14 20:28) falcao

А каково происхождение задачи? Дело в том, что сам набор условий выглядит довольно искусственно. Напрашивается какая-то интерпретация в терминах треугольников и теоремы косинусов. В том смысле, что $%u$% и $%t$% нужно представить как косинусы каких-то (неизбежно острых) углов. Я не анализировал, что при этом получается. Вопрос ставился по-другому, то есть о нахождении решения без привлечения геометрии. Не имея перед собой "образца" другого решения, довольно сложно думать о "конвертации" одного типа решения в другое.

(23 Фев '14 11:32) falcao

@parol: эта задача где-то у кого-то, насколько я понимаю, возникла. Это означает, что к указанной системе условий ведёт какое-то рассуждение. Она ведь не случайным образом получилась? Меня в таком виде эта задача не сильно привлекает. Я думал над ней какое-то время, но ощущение искусственности не исчезло. Если какая-то дополнительная информация относительно происхождения этих неравенств будет, я могу подумать ещё. А в той форме, как оно есть, у меня что-то нет большого желания это "расследовать".

(23 Фев '14 22:39) falcao

Нет, я не это имел в виду. Поскольку задача из книги, то я хотел бы видеть тот контекст, в котором она возникла. Даже если она сама там дана без решения, вокруг есть какие-то аналогичные задачи, которые предлагается решать определёнными методами. Это всё мне бы хотелось просто узнать, а не "переоткрывать" заново самому. Ведь книга предназначена для чтения и изучения. Имея эту информацию, я мог бы попробовать перевести это всё на чисто алгебраический язык. И вот последнее было бы весьма интересно.

(24 Фев '14 15:24) falcao

книга сама вот http://www.alleng.ru/d/math/math01.htm там 425 страница !

(24 Фев '14 15:27) parol
10|600 символов нужно символов осталось
1

Напишу здесь, но это не следует считать ответом. Просто выше нет места для комментариев даже после того, как я несколько лишних удалил. (Честно говоря, я совершенно не понимаю принципа, по которому вводятся эти ограничения. Было 8 комментариев, три удалили, осталось 5, и шестой по каким-то странным причинам не разрешается добавить.)

Спасибо за ссылку на книгу. Там, насколько я успел увидеть, разбирается похожий пример из другого варианта. У меня пока не было времени это всё как следует изучить. Но сегодня надеюсь успеть это сделать. При такой постановке задачи становится интересно понять, возможно ли "обходное" решение средствами только алгебры. При этом оно, конечно, должно быть "обозримым".

Добавление. Я в итоге разобрался. Тут всё делается чисто алгебраическим путём, причём достаточно просто. Я это осознал после того, как выяснилось, что на самом деле из всех этих неравенств должны вытекать соответствующие равенства. Если заранее знать, что так получится, то доказать этот факт довольно легк. А я когда пытался думать над этой задачей, то вводил все положенные косинусы и "штрихованные" углы, но у меня не хватило терпения довести всё это до конца. Переменных было слишком много, получались какие-то неравенства, но я не довёл эти рассуждения до какого-либо завершения.

Вот алгебраическое доказательство. Первое неравенство перепишем в виде $%at\le c-bu$%. Числа в обеих частях положительные, и можно возвести неравенство в квадрат. Получится $%a^2t^2\le c^2+b^2u^2-2bcu$%, что можно переписать в виде $%c^2-2bcu\ge a^2t^2-b^2u^2$%.

Из второго неравенства системы имеем $%c^2-2bcu\le a^2-b^2$%. Как следствие, получаем $%a^2-b^2\ge a^2t^2-b^2u^2$%, то есть $%a^2(1-t^2)\ge b^2(1-u^2)$%. Можно извлечь корни, получая неравенство $%a\sqrt{1-t^2}\ge b\sqrt{1-u^2}$%.

Теперь проанализируем третье неравенство системы, которое можно переписать как $%c^2-2bcu\le\frac{b^2(1-u^2)}{1-t^2}-b^2$%. Используя одно из предыдущих неравенств, в котором $%c^2-2bcu$% оценено снизу, заключаем, что $%a^2t^2-b^2u^2\le\frac{b^2(1-u^2)}{1-t^2}-b^2$%. Домножая на положительное число $%1-t^2$% и преобразуя, имеем $%a^2t^2(1-t^2)\le b^2(1-u^2)-b^2(1-u^2)(1-t^2)=b^2t^2(1-u^2)$%. После сокращения на $%t^2$% и извлечения корней имеем $%a\sqrt{1-t^2}\le b\sqrt{1-u^2}$%. Сравнивая с одним из полученных выше неравенств для тех же чисел, приходим к выводу, что $%a\sqrt{1-t^2}=b\sqrt{1-u^2}$%. Более того, все неравенства из условия задачи при этом оказываются равенствами: если хотя бы одно из неравенств оказалось строгим, то мы в качестве следствия не получили бы установленного только что равенства.

Осталось теперь заметить, что в выражении для "целевой" функции $$\frac{1}{c}(\frac{3a}{\sqrt{1-u^2}}+\frac{b}{\sqrt{1-t^2}}),$$ значение которой требуется минимизировать, значения двух дробей (без учёта коэффициента 3) равны между собой. Поэтому функция равна $%\frac{4a}{c\sqrt{1-u^2}}$%. Воспользуемся первым из условий системы, про которое мы теперь знаем, что оно является равенством: $%c=at+bu$%. Домножая на $%\sqrt{1-u^2}$%, имеем $%c\sqrt{1-u^2}=at\sqrt{1-u^2}+bu\sqrt{1-u^2}=at\sqrt{1-u^2}+au\sqrt{1-t^2}$% с использованием равенства, которое связывает между собой $%a$% и $%b$%. Тем самым, $%\frac{c\sqrt{1-u^2}}a=t\sqrt{1-u^2}+u\sqrt{1-t^2}$%, и "целевая" функция оказывается равна $$\frac4{t\sqrt{1-u^2}+u\sqrt{1-t^2}}.$$

При $%t=u=1/\sqrt{2}$% знаменатель дроби равен 1. Значение дроби при этом равно 4, и оно будет наименьшим, поскольку при всех $%t,u\in(0;1)$% справедливо неравенство $%t\sqrt{1-u^2}+u\sqrt{1-t^2}\le1$%. Оно имеет довольно просто геометрический смысл (левую часть можно представить как синус суммы). Но его нетрудно доказать и чисто алгебраическим путём. Если записать его в виде $%t\sqrt{1-u^2}\le1-u\sqrt{1-t^2}$% и возвести в квадрат (обе части положительны), то получится $%t^2(1-u^2)\le1+u^2(1-t^2)-2u\sqrt{1-t^2}$%, что равносильно верному неравенству $%(u-\sqrt{1-t^2})^2\ge0$%.

Таким образом, наименьшее значение равно 4.

ссылка

отвечен 25 Фев '14 19:06

изменен 26 Фев '14 5:13

мне просто стало интересно , потому что ниже (уже готового решения подобной моей задачи) а она выше находится, написано "попробуйте отыскать решение методом мини макс"

(25 Фев '14 19:14) parol

анализ по третьему неравенству, я более проще сделал

(26 Фев '14 20:00) parol

и целевую функцию я тоже по другим соображениям привел

(26 Фев '14 20:30) parol

хотите могу показать все действия

(26 Фев '14 20:31) parol

Я писал без черновика и подробно, поэтому получилось длинно. Можно было написать покороче. Теперь "природа" этой задачи стала понятна: она не такая сложная, как изначально могло показаться.

(26 Фев '14 21:35) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,490
×3,683
×907
×525

задан
18 Фев '14 16:10

показан
909 раз

обновлен
26 Фев '14 21:35

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru