При каких значениях параметра $%a$% система неравенств

$% \begin{cases} x^2+y^2+4x+2y\leq a^2-5 \\ x^2+y^2-8x-14y\geq 4a^2+12a-56 \end{cases}$%

имеет единственное решение?

Я решал так: привел к виду $%\begin{cases} (x+2)^2+(y+1)^2 \leq a^2 \\ (x-4)^2+(y-7)^2 \geq (2a+3)^2 \end{cases}$% из этого следует, что для того, чтобы система имела только одно решение, надо, чтобы окружность с радиусом $%a$% была внутри окружности с радиусом $%2a+3$%. Вот здесь я не очень понимаю, как это можно выразить. Я попробовал сделать такое неравенство: $%2a+3>a \Leftrightarrow a>-3$%.

Правильно ли это и почему?

задан 18 Фев '14 18:46

изменен 19 Фев '14 20:11

Deleted's gravatar image


126

Нужно чтобы расстояние между центрами окружностей было равно сумме радиусов - 1 случай, или разности радиусов - 2 случай. 7 и 7/3 у меня получилось

(18 Фев '14 19:21) epimkin

@epimkin: тут несколько более "хитро" дело обстоит.

(18 Фев '14 20:26) falcao

@falcao, невнимательный стал. Неравенство с уравнением перепутал

(18 Фев '14 20:28) epimkin

@epimkin,@falcao: я понял ошибку и ситуацию: надо сделать равенство $%|OO_1|+|a|<2|a+3|$%, где $%|OO_1|+|a|$% - сумма расстояния между центрами и радиуса, получается: $%a=7;13$%

Хотелось бы еще узнать, а можно ли как-то выявить уравнение касательной к окружности через производную?

(18 Фев '14 20:38) kirill1771

@kirill1771: я подробно смогу ответить чуть позже -- сейчас мне надо на некоторое время уйти от компьютера. Задача эта имеет "подводные камни" -- с ней не всё так просто.

Уравнение касательной можно очень многими способами составить, при помощи производной в том числе, но здесь оно не требуется.

(18 Фев '14 21:11) falcao

@falcao: да, я знаю, спасибо.

(18 Фев '14 21:16) kirill1771

@kirill1771: если вопрос о нахождении касательной при помощи производной ещё актуален, я могу на него отдельно ответить. Хотелось бы при этом уточнить, что дано. Я так понимаю, это уравнение окружности и какая-то точка, из которой можно провести касательную, то есть не находящаяся строго внутри этого круга.

(19 Фев '14 4:02) falcao

@falcao: да, актуален. Я сегодня его напишу, спасибо.

(19 Фев '14 11:12) kirill1771
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
4

Я всё-таки помещу своё решение в виде ответа (как комментарий оно не пройдёт по объёму). Дело в том, что здесь есть ещё один вариант, который не был учтён, и значений для $%a$% получается три, а не два.

В начале идут те преобразования, которые Вы указали. Получаются две окружности: $%\omega_1$% с центром $%(-2;-1)$% радиуса $%|a|$% и $%\omega_2$% с центром $%(4;7)$% радиуса $%|2a+3|$%. С учётом того, что в системе присутствуют нестрогие неравенства, возникает два множества: круг $%M_1$% с границей $%\omega_1$% и множество $%M_2$%, являющееся дополнением открытого круга с границей $%\omega_2$%. Второе множество -- это почти вся плоскость, с одной вырезанной "дыркой". Требуется понять, при каких значениях $%a$% множества $%M_1$% и $%M_2$% имеют одноточечное пересечение.

Проанализируем все возможные случаи, чтобы ничего не упустить. Любая точка, принадлежащая обеим окружностям, даёт решение системы, так как неравенства нестрогие. Отсюда мы делаем вывод, что окружности имеют не более одной общей точки (теоретически, они могли бы даже совпадать).

Предположим, что общих точек окружности не имеют. Тогда они либо расположены "порознь", либо одна находится внутри другой. Что значит попадание $%\omega_1$% внутрь $%\omega_2$%, то есть внутрь "дыры"? Легко видеть, что система решений при этом не имеет. Пусть окружности расположены "порознь". Это значит, что круг $%M_1$% попал целиком в пределы множества $%M_2$%. В этом случае множеством решений системы будет круг $%M_1$%. И здесь сразу обращает на себя внимание тот факт, что решение будет ровно одно, если этот круг имеет нулевой радиус, то есть $%a=0$%. Первое неравенство системы имеет одно решение $%(-2;-1)$%, и легко видеть, что оно удовлетворяет условию второго неравенства. Значит, $%a=0$% нам подходит и является частью ответа.

Заодно можно отдельно рассмотреть второй "вырожденный" случай, когда $%|2a+3|=0$%. Тогда второе неравенство выполнено всегда, и множество решений оказывается бесконечным. Осталось рассмотреть случай попадания окружности $%\omega_2$% строго внутрь окружности $%\omega_1$%. Ясно, что все точки $%\omega_2$% будут давать решения, и их бесконечно много в силу $%|2a+3|\ne0$%.

Теперь осталось разобрать случаи касания окружностей (ненулевого радиуса). Типы касания могут быть разные: внешнее касание и внутреннее. При внешнем касании решений бесконечно много: подойдут все точки окружности $%\omega_1$%. То же самое будет при внутреннем касании, когда $%\omega_2$% содержится в круге $%M_1$%. Остаётся один случай, когда $%\omega_1$% касается $%\omega_2$% в одной точке, находясь внутри неё. С учётом того, что расстояние между центрами окружностей равно 10, здесь возникает уравнение $%10+|a|=|2a+3|$%, что проще всего увидеть из соответствующего рисунка. Оно легко решается: при $%a > 0$% получается $%10+a=2a+3$%, то есть $%a=7$%, и это число подходит. При $%a < 0$% возникает уравнение $%10-a=|2a+3|$% с положительной левой частью. Это значит, что $%2a+3=10-a$% или $%2a+3=a-10$%. Решение первого из уравнений, $%a=7/3$% не удовлетворяет условию отрицательности. Для второго уравнения получается $%a=-13$%, и этот случай подходит.

Итого имеется три возможных значения: $%a\in\{-13;0;7\}$%.

ссылка

отвечен 19 Фев '14 3:59

10|600 символов нужно символов осталось
2

$%O_1O_2=\sqrt{(4-(-2))^2+(7-(-1))^2}=10.$%

$%R_1=|a|, R_2=|2a+3|.$%

Возможно только тот вариант когда окружность $%(O_1;R_1)$% соприкасается с окружностью $%(O_2;R_2)$% изнутри.

$%O_1O_2=R_2-R_1=|2a+3|-|a|.$%

$%|2a+3|-|a|=10\Leftrightarrow a=-13;a=7.$%

ссылка

отвечен 18 Фев '14 20:56

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,977
×487
×268

задан
18 Фев '14 18:46

показан
5410 раз

обновлен
19 Фев '14 11:12

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru