алгебра - При каких значениях параметра система неравенств имеет единственное решение?

Я всё-таки помещу своё решение в виде ответа (как комментарий оно не пройдёт по объёму). Дело в том, что здесь есть ещё один вариант, который не был учтён, и значений для $%a$% получается три, а не два.

В начале идут те преобразования, которые Вы указали. Получаются две окружности: $%\omega_1$% с центром $%(-2;-1)$% радиуса $%|a|$% и $%\omega_2$% с центром $%(4;7)$% радиуса $%|2a+3|$%. С учётом того, что в системе присутствуют нестрогие неравенства, возникает два множества: круг $%M_1$% с границей $%\omega_1$% и множество $%M_2$%, являющееся дополнением открытого круга с границей $%\omega_2$%. Второе множество -- это почти вся плоскость, с одной вырезанной "дыркой". Требуется понять, при каких значениях $%a$% множества $%M_1$% и $%M_2$% имеют одноточечное пересечение.

Проанализируем все возможные случаи, чтобы ничего не упустить. Любая точка, принадлежащая обеим окружностям, даёт решение системы, так как неравенства нестрогие. Отсюда мы делаем вывод, что окружности имеют не более одной общей точки (теоретически, они могли бы даже совпадать).

Предположим, что общих точек окружности не имеют. Тогда они либо расположены "порознь", либо одна находится внутри другой. Что значит попадание $%\omega_1$% внутрь $%\omega_2$%, то есть внутрь "дыры"? Легко видеть, что система решений при этом не имеет. Пусть окружности расположены "порознь". Это значит, что круг $%M_1$% попал целиком в пределы множества $%M_2$%. В этом случае множеством решений системы будет круг $%M_1$%. И здесь сразу обращает на себя внимание тот факт, что решение будет ровно одно, если этот круг имеет нулевой радиус, то есть $%a=0$%. Первое неравенство системы имеет одно решение $%(-2;-1)$%, и легко видеть, что оно удовлетворяет условию второго неравенства. Значит, $%a=0$% нам подходит и является частью ответа.

Заодно можно отдельно рассмотреть второй "вырожденный" случай, когда $%|2a+3|=0$%. Тогда второе неравенство выполнено всегда, и множество решений оказывается бесконечным. Осталось рассмотреть случай попадания окружности $%\omega_2$% строго внутрь окружности $%\omega_1$%. Ясно, что все точки $%\omega_2$% будут давать решения, и их бесконечно много в силу $%|2a+3|\ne0$%.

Теперь осталось разобрать случаи касания окружностей (ненулевого радиуса). Типы касания могут быть разные: внешнее касание и внутреннее. При внешнем касании решений бесконечно много: подойдут все точки окружности $%\omega_1$%. То же самое будет при внутреннем касании, когда $%\omega_2$% содержится в круге $%M_1$%. Остаётся один случай, когда $%\omega_1$% касается $%\omega_2$% в одной точке, находясь внутри неё. С учётом того, что расстояние между центрами окружностей равно 10, здесь возникает уравнение $%10+|a|=|2a+3|$%, что проще всего увидеть из соответствующего рисунка. Оно легко решается: при $%a > 0$% получается $%10+a=2a+3$%, то есть $%a=7$%, и это число подходит. При $%a < 0$% возникает уравнение $%10-a=|2a+3|$% с положительной левой частью. Это значит, что $%2a+3=10-a$% или $%2a+3=a-10$%. Решение первого из уравнений, $%a=7/3$% не удовлетворяет условию отрицательности. Для второго уравнения получается $%a=-13$%, и этот случай подходит.

Итого имеется три возможных значения: $%a\in\{-13;0;7\}$%.