Задача с параметром. Экономфак, 1996 год.

Найти все значения параметра а, при которых фигура заданная на координатной плоскости условием |y|<=(sqrt(a-|x|))^2+arcsin(sin(a-|x|)) представляет собой 14-угольник.

задан 18 Фев '14 19:46

изменен 19 Фев '14 20:14

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
2

Выражение $%\sqrt{a-|x|}^2$% упрощается до $%a-|x|$%. При этом выполняется неравенство $%|x|\le a$%, то есть $%a\ge0$%, и $%x\in[-a;a]$%. Функция $%f(x)=a-|x|+\arcsin(\sin(a-|x|))$% будет чётной, её график симметричен относительно оси $%Oy$%. Она определена на отрезке $%[-a;a]$%, и на концах отрезка значения функции равны нулю.

Функция $%g(t)=\arcsin(\sin t)$% определена на всей прямой и является нечётной периодической с периодом $%2\pi$%. Она также будет непрерывной, а график представляет собой "пилообразную" линию: при $%t\in[0;\pi/2]$% функция тождественно равна $%t$%; при $%t\in[\pi/2;\pi]$% она тождественно равна $%\pi-t$%. Функция $%g(t)$%, равно как и функция $%f(x)$%, будет кусочно-линейной. В частности, график $%f(x)$% состоит из конечного числа отрезков. Поскольку фигура задана условием $%|y|\le f(x)$%, она расположена между графиками функций $%f(x)$% и $%-f(x)$% симметрично относительно оси $%Ox$%. Чтобы получился 14-угольник, нужно, чтобы графиком $%f(x)$% была 7-звенная ломаная. Здесь надо заметить, что слева и справа отрезки прямых будут наклонными, и при склейке двух 7-звенных ломаных получится именно 14-угольник.

Будем строить график функции $%f(x)$%, начиная от точки $%x=-a$%, в которой функция равна нулю. Для построения непрерывной кусочно-линейной функции достаточно знать угловые коэффициенты участков графика. У функции $%a-|x|$% при отрицательных $%x$% угловой коэффициент равен 1. У функции $%\arcsin(\sin(a-|x|)$%, как следует из описания её графика, на отрезке $%x\in[-a;-a+\pi/2]$% угловой коэффициент равен 1, затем на отрезке длиной $%\pi$% он равен $%-1$%, затем снова равен 1 на отрезке длиной $%\pi$% и так далее. Всё это относится к случаю построения части графика функции $%f(x)$% при $%x\in[-a;0]$%.

При суммировании функций происходит сложение угловых коэффициентов, и в нашем случае они будут принимать значения 2 и 0. То есть сначала функция имеет вид $%2x+c$%, где $%c$% -- некоторая константа (на отрезке длиной $%\pi/2$%). Затем график становится постоянным (на отрезке длиной $%\pi$%). Далее снова идёт участок графика с угловым коэффициентом 2, и так далее. С учётом того, что график симметричен относительно $%Oy$%, для получения нечётного числа звеньев ломаной нам нужно, чтобы в окрестности нуля график был горизонтален. Слева и справа от этого участка должно поместиться ровно по три звена ломаной. Это значит, что в пределах отрезка $%[-a;0]$% должен вместиться один отрезок длиной $%\pi/2$% (угловой коэффициент 2), один отрезок длиной $%\pi$% (угловой коэффициент 0), и далее ещё один полный отрезок длиной $%\pi$% (угловой коэффициент 2), после чего должен начаться горизонтальный отрезок в середине. Из этого ясно, что $%a > 5\pi/2$% (чтобы три звена поместились, и могло начаться четвёртое), а также $%a\le7\pi/2$% (чтобы горизонтальное среднее звено дошло до оси $%Oy$% и "склеилось" далее с симметричным ему отрезком).

Таким образом, ответом будет $%a\in(5\pi/2;7\pi/2]$%.

ссылка

отвечен 19 Фев '14 19:11

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×530

задан
18 Фев '14 19:46

показан
1021 раз

обновлен
19 Фев '14 19:11

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru