При каких значениях параметра $%a$% система неравенств $% \begin{cases} (x-a)^2+(y-a)^2\leq a^2 \\ 2y-x\geq 4 \end{cases}$% имеет хотя бы одно решение?

Я так понял, что надо найти, при каких значениях $%a$% прямая $%y= \frac{4+x}{2}$% будет касательной к окружности. То есть надо выявить через уравнение окружности уравнение касательной (к этой окружности) и прировнять ее к уравнению прямой. Возможно, я что-то путаю или упустил из виду.

задан 19 Фев '14 15:05

изменен 19 Фев '14 20:10

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
3

Если учытивать подводные камни, то сначала рассмотрим случай когда $%a=0,$% когда первое неравенство примет вид $%x^2+y^2\le0 \Leftrightarrow x=y=0. $% Координаты точки $%(0;0)$% не удовлетворяют неравенству $%2y-x\ge 4.$%

Значит $%a\ne0.$% Тогда первое неравенство круг с центром $%(a;a)$% и радиусом $%|a|,$% заметим, что ценр лежит на прямой $%y=x,$% а окружность соприкасается с осями координт. Второе неравнство полуплоскость с границой $%2y-x-4=0,$% которая не содержит начало координат. Сисема будет иметь хотя бы одно решение, если рассояние центра круга от прямой $%2y-x-4=0$% не больше радиуса круга. По Формуле расстоянии от точки $%(x_0;y_0)$% до прямой $%ax+by+c=0,$% $%d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}.$% И так надо решить неравенство $%\frac{|-a+2a-4|}{\sqrt5}\le |a|\Leftrightarrow \sqrt5|a|\ge |a-4|\Leftrightarrow a\in(-\infty;-\sqrt5-1]\cup[\sqrt5-1;\infty).$% В рисунке показан расположение круга с полуплоскостью когда $%a=-\sqrt5-1$% и $%a=\sqrt5-1.$% При этих значениях окружность соприкасается с прямой $%2y-x-4=0,$% а когда $%a>\sqrt5-1$% или $%a<-\sqrt5-1$%, общая часть сегмент. alt text

Ответ. $%a\in(-\infty;-\sqrt5-1]\cup[\sqrt5-1;\infty).$%

ссылка

отвечен 19 Фев '14 16:27

изменен 19 Фев '14 17:21

@ASailyan: спасибо за столь подробное решение. Только немного непонятно, откуда взята формула расстояния от дочки до прямой (из какой темы по алгебре/геометрии)? Или Вы ее вывели?

(19 Фев '14 22:09) kirill1771
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,974
×486
×268

задан
19 Фев '14 15:05

показан
1656 раз

обновлен
20 Фев '14 8:32

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru