|
При каких значениях параметра $%a$% система неравенств $% \begin{cases} (x-a)^2+(y-a)^2\leq a^2 \\ 2y-x\geq 4 \end{cases}$% имеет хотя бы одно решение? Я так понял, что надо найти, при каких значениях $%a$% прямая $%y= \frac{4+x}{2}$% будет касательной к окружности. То есть надо выявить через уравнение окружности уравнение касательной (к этой окружности) и прировнять ее к уравнению прямой. Возможно, я что-то путаю или упустил из виду. задан 19 Фев '14 15:05 
kirill1771 |
|
Если учытивать подводные камни, то сначала рассмотрим случай когда $%a=0,$% когда первое неравенство примет вид $%x^2+y^2\le0 \Leftrightarrow x=y=0. $% Координаты точки $%(0;0)$% не удовлетворяют неравенству $%2y-x\ge 4.$% Значит $%a\ne0.$% Тогда первое неравенство круг с центром $%(a;a)$% и радиусом $%|a|,$% заметим, что ценр лежит на прямой $%y=x,$% а окружность соприкасается с осями координт.
Второе неравнство полуплоскость с границой $%2y-x-4=0,$% которая не содержит начало координат.
Сисема будет иметь хотя бы одно решение, если рассояние центра круга от прямой $%2y-x-4=0$% не больше радиуса круга.
По Формуле расстоянии от точки $%(x_0;y_0)$% до прямой $%ax+by+c=0,$% $%d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}.$%
И так надо решить неравенство $%\frac{|-a+2a-4|}{\sqrt5}\le |a|\Leftrightarrow \sqrt5|a|\ge |a-4|\Leftrightarrow a\in(-\infty;-\sqrt5-1]\cup[\sqrt5-1;\infty).$%
В рисунке показан расположение круга с полуплоскостью когда $%a=-\sqrt5-1$% и
$%a=\sqrt5-1.$% При этих значениях окружность соприкасается с прямой $%2y-x-4=0,$% а когда $%a>\sqrt5-1$% или $%a<-\sqrt5-1$%, общая часть сегмент.
Ответ. $%a\in(-\infty;-\sqrt5-1]\cup[\sqrt5-1;\infty).$% отвечен 19 Фев '14 16:27 
ASailyan @ASailyan: спасибо за столь подробное решение. Только немного непонятно, откуда взята формула расстояния от дочки до прямой (из какой темы по алгебре/геометрии)? Или Вы ее вывели?
(19 Фев '14 22:09)
kirill1771
|
