множества - Доказать теорему об образах функции

Слово "совокупность" в математике имеет другой смысл. Здесь уместно говорить об объединении множеств. Если имеется в виду образ объединения двух множеств, то доказательство таково. Пусть $%f\colon A\to B$% -- отображение. Рассмотрим подмножества $%X,Y\subseteq A$%. Требуется доказать, что $%f(X\cup Y)=f(X)\cup f(Y)$%. Надо проверить, что всякий элемент одного множества (того, что в левой части) принадлежит другому (из правой части), и наоборот.

Пусть $%b\in f(X\cup Y)$%. По определению, это означает, что существует $%a\in X\cup Y$% такой, что $%b=f(a)$%. Поскольку $%a$% принадлежит объединению, он принадлежит хотя бы одному из множеств $%X$%, $%Y$%. Если $%a\in X$%, то $%b\in f(X)$%, откуда $%b\in f(X)\cup f(Y)$%. Если $%a\in Y$%, то $%b\in f(Y)$%, и снова $%b\in f(X)\cup f(Y)$%.

Доказательство в обратную сторону аналогично. Берём произвольный элемент $%b\in f(X)\cup f(Y)$%. Тогда $%b\in f(X)$% или $%b\in f(Y)$%. В первом случае $%b=f(a)$% для некоторого $%a\in X$%. Во втором случае $%b=f(a)$% для некоторого $%a\in Y$%. Поэтому для обоих случаев верно то, что $%b=f(a)$% для некоторого $%a\in X\cup Y$%. Тем самым, $%b\in f(X\cup Y)$%.

Если объединяемых множеств не два, а много, то доказательство проводится по той же схеме.