$$sinx*sin7x=1$$ У меня получились ответы $%\frac{\pi k}{3}$% и $%\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4}$% правильно ли и как их объединить?

задан 20 Фев '14 19:20

10|600 символов нужно символов осталось
2

Серий здесь вообще нет: уравнение имеет пустое множество решений.

После преобразования произведения в сумму получается $%\cos6x-\cos8x=2$%, откуда $%\cos6x=1$% и $%\cos8x=-1$% (система). То есть выписанные условия $%x=\frac{\pi k}3$% и $%x=\frac{\pi(2n+1)}8$% должны выполняться одновременно при целых $%k$%, $%n$%. И если значения приравнять, сократив далее на множитель $%\pi$%, то оказывается, что $%\frac{k}3=\frac{2n+1}8$%, то есть $%8k=3(2n+1)$%. Слева стоит чётное число, а справа нечётное. Значит, решений нет.

При другом подходе, предложенном @Anatoliy, можно прийти к такому же выводу. Прежде всего, достаточно найти все решения на промежутке $%x\in(-\pi;\pi]$% длиной в период. Тогда $%\sin x=1$% означает, что $%x=\pi/2$% (единственное значение), но при этом $%\sin7x=\sin\frac{7\pi}2=-1$%. Из условия $%\sin x=-1$% так же точно следует $%\sin7x=1$%. Поэтому множество решений совокупности двух систем пустое.

ссылка

отвечен 21 Фев '14 0:46

10|600 символов нужно символов осталось
1

$$\Leftrightarrow\left[ \begin{aligned}\begin{cases}sinx=1,\\sin7x=1,\end{cases}\\ \begin{cases}sinx=-1,\\sin7x=-1,\end{cases}\end{aligned} \right.\Leftrightarrow\left[ \begin{aligned}\begin{cases}x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\\7x=\frac{\pi}{2}+2n\pi,\end{cases}\\ \begin{cases}x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi,\\7x=-\frac{\pi}{2}+2n\pi,\end{cases}\end{aligned} \right.k,n\in Z $$ Для первой системы:$$\begin{cases}x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\\7x=\frac{\pi}{2}+2n\pi,k,n\in Z\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x=\frac{1+4k}{2}\pi,\\x=\frac{1+4n}{14}\pi,k,n\in Z\end{cases}$$$$\Leftrightarrow\begin{cases}x=\frac{1+4k}{2}\pi,\\\frac{1+4k}{2}=\frac{1+4n}{14},k,n\in Z\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x=\frac{1+4k}{2}\pi,\\7+28k=1+4n,k,n\in Z\end{cases}\Leftrightarrow\varnothing.$$ Аналогично и для второй системы.

ссылка

отвечен 20 Фев '14 20:02

изменен 21 Фев '14 11:57

А я из произведения в сумму преобразовала

(20 Фев '14 21:14) Amalia
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×958

задан
20 Фев '14 19:20

показан
590 раз

обновлен
21 Фев '14 11:57

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru