1!+2!+...+х!=у^2 решить в целых числах

задан 20 Фев '14 22:47

закрыт 3 Окт '14 1:21

1

Мне кажется, эту задачу естественнее формулировать в виде "решить в натуральных числах". В противном случае получается ещё решение, когда x=0, y=0. Несмотря на то, что 0!=1, сумма в правой части при этом значении оказывается пустой, и её значение равно нулю. В такого рода формальных тонкостях легко запутаться, поэтому лучше всё-таки говорить о натуральных числах.

(21 Фев '14 0:24) falcao
10|600 символов нужно символов осталось

Вопрос был закрыт. Причина - "Вопрос отвечен и ответ принят". Закрывший - Alena 3 Окт '14 1:21

2

1)При $%x=1$%: $%y=1$% или $%y=-1$%

2)При $%x=2$% целых решений нет(убеждаемся проверкой)

3)При $%x=3$% получаем $%y=3$% или $%y=-3$%

4)При $%x=4$% целых решений нет

3)Пусть $%x>4$%, тогда число слева будет иметь вид $%5t+3$%, где $%t$% целое, значит $%5t+3=y^{2}$%, данное уравнение не имеет решений в целых числах, т.к. квадрат целого числа не может заканчиваться на 3 и на 8

|Ответ:$%(1;1)$%,$%(1,-1)$%,$%(3,3)$%,$%(3,-3)$%

ссылка

отвечен 20 Фев '14 22:57

изменен 20 Фев '14 23:15

прошу прощения, поторопился, теперь исправил

(20 Фев '14 23:11) SenjuHashirama

Спасибо большое! Можете, пожалуйста, объяснить почему число слева будет иметь вид 5t+3

(20 Фев '14 23:15) Alena

Да. если $%x>4$%, то слева имеем 1!+2!+3!+4!+5!+...+x!. Первые четыре слагаемых в сумме дают 33, а все остальные кратны пяти(5!=1 * 2 * 3 * 4 * 5 , 6!=1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 ,....x!=1 * 2 * 3 * 4 * 5 .... x). Т.е. у всех остальных слагаемых можно вынести 5 за скобку, а в самой скобке мы получим какое-то целое число, допустим u, итого имеем 33+5u=3+6 * 5+5u=3+5*(u+6), где u+6 - целое число, я обозначил за $%t$%/Итого имеем 3+5t

(20 Фев '14 23:21) SenjuHashirama

Так как (1!+2!+3!+4!)+(5!+...) вторая скобка делится на 5, а первая равна 1+2+6+24=33=5*6+3, то все число имеет вид 5t+3 при x>3.

(20 Фев '14 23:23) Lyudmyla

Все понятно. Спасибо большое!!!

(20 Фев '14 23:24) Alena
10|600 символов нужно символов осталось
Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×72

задан
20 Фев '14 22:47

показан
1328 раз

обновлен
3 Окт '14 1:21

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru