Доброго времени суток, коллеги. Столкнулась с задачей, пока не поддается мне. Буду признательна за любые комментарии.

В L2[0,1] на подпространстве M многочленов степени не выше первой задан функционал $$f(x(t))=x(1).$$ Найти продолжение f на L2[0,1] с сохранением нормы.

Решение: данный функционал линейный и ограниченный (достаточно очевидно). Найдем его норму. Возьмем произвольную $$x(t)\in M,\; x(t)=at+b, \;a,b\in R - \mbox{произвольные числа.}$$ $$|f(x)|=|a+b|,\;\; ||x||^2=\int_0^1 x^2(t)dt=\int_0^1 (at+b)^2dt=a^2/3+ab+b^2.$$ $$||f||=\sup_{x\ne 0}\frac{|f(x)|}{||x||}=\max_{a,b}\frac{|a+b|}{\sqrt{a^2/3+ab+b^2}}=2.$$ По теореме Хана-Банаха любой линейный ограниченный функционал, заданный на подпространстве, можно продолжить на все пространство с сохранением нормы, т.е. существует функционал $$g: L^2[0,1]\to R:\;\; g|_M=f, \;||g||=||f||.$$ По теореме Рисса-Фреше для любого линейного ограниченного функционала в L2[0,1] существует единственная (!) функция $$y\in L^2[0,1]:\;\; g(x)=\int_0^1 x(t)y(t)dt\;\forall x\in L^2[0,1],\; ||g||=||y||.$$ Ищем функционал g в таком виде. Тогда $$g|_M=f \;\to\; \int_0^1 (at+b)y(t)dt=a+b \;\to \;\int_0^1 ty(t)dt=1\;(I), \int_0^1 y(t)dt=1\;(II).$$ $$||g||=||f||,\; ||g||=||y|| \;\to\; ||y||=\int_0^1 y^2(t)dt=2\;(III).$$ Ну, вот и вопрос, как подобрать такую y, чтобы она удовлетворяла трем условиям (I, II, III)?

С уважением.

задан 21 Фев '14 2:04

изменен 21 Фев '14 2:08

10|600 символов нужно символов осталось
0

В условии III норма $%y$% равна квадратному корню из интеграла, то есть интеграл от функции $%y^2(t)$% должен быть равен 4.

Таким условиям удовлетворяет функция $%y(t)=6t-2$%. Это проверяется непосредственно, при помощи вычисления трёх интегралов от полиномов.

ссылка

отвечен 21 Фев '14 4:03

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×794

задан
21 Фев '14 2:04

показан
1276 раз

обновлен
21 Фев '14 4:03

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru