Плотность распределения случайной величины X имеет вид

fX(t)=c/(t^4) если t>=1 fX(t)=0 если t<1

Случайная величина Y=lnX является функцией от случайной величины X

Найти плотность распределения fY(t) случайной величины Y

Помогите вообще не знаю как решать, последнее задание в моей учебной жизни по ТВ (по крайней мере в университете). Буду очень благодарен за подробное решение.

задан 21 Фев '14 20:00

изменен 21 Фев '14 22:07

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
2

Прежде всего, найдём значение константы $%c$%, исходя из того условия, что интеграл от плотности вероятностного распределения равен 1. Поскольку $$\int\limits_1^{\infty}\frac{dt}{t^4}=\left.\frac{t^{-3}}{-3}\right|_1^{\infty}=\frac13,$$ имеем $%c=3$%.

Ввиду того, что случайная величина $%X$% распределена на $%[1;+\infty)$%, её логарифм, то есть случайная величина $%Y=\ln X$%, распределена на $%[0;+\infty)$%. Поэтому значение её функции распределения $%F_Y(a)$% равно нулю при $%a\le0$%. Найдём её значение при $%a > 0$%. Согласно определению, $%F_Y(a)=P\{Y\le a\}=P\{\ln X\le a\}=P\{1\le X\le e^a\}$%, откуда $$F_Y(a)=3\int\limits_1^{e^a}\frac{dt}{t^4}=\left.-t^{-3}\right|_1^{e^a}=1-e^{-3a}.$$ Плотность $%p(a)$% случайной величины $%Y$% равна нулю при $%a\le0$%, а при $%a > 0$% она равна производной функции распределения, то есть получается $%p(a)=3e^{-3a}$%. Это экспоненциально распределённая случайная величина с параметром $%\lambda=3$%.

ссылка

отвечен 21 Фев '14 20:23

@falco Спасибо, помогло, безумно благодарен.

(22 Фев '14 19:01) Global
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,310

задан
21 Фев '14 20:00

показан
2749 раз

обновлен
22 Фев '14 19:01

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru