$$ log_4(8(1+\frac{1}{x})^2)=\sqrt{2-log_4(\frac{x}{x+1})}-log_4(\frac{1}{2})$$

задан 21 Фев '14 21:47

10|600 символов нужно символов осталось
1

$$ log_48(1+\frac{1}{x})^2=\sqrt{2-log_4(\frac{x}{x+1})}-log_4\frac{1}{2}\Leftrightarrow log_4\frac{1}{2}+log_48(1+\frac{1}{x})^2=\sqrt{2-log_4(\frac{x}{x+1})}\Leftrightarrow $$ $$\Leftrightarrow log_44(1+\frac{1}{x})^2=\sqrt{2-log_4(\frac{x}{x+1})}\Leftrightarrow 1+2log_4\frac{x+1}{x}=\sqrt{2+log_4\frac{x+1}{x}}\Leftrightarrow $$ $$\begin{cases}(1+2log_4\frac{x+1}{x})^2=2+log_4\frac{x+1}{x}\\1+2log_4\frac{x+1}{x}\ge0 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}4log_4^2\frac{x+1}{x}+3log_4\frac{x+1}{x}-1=0\\log_4\frac{x+1}{x}\ge-\frac12 \end{cases}\Leftrightarrow $$

$$\Leftrightarrow\begin{cases}\left[\begin{aligned}log_4\frac{x+1}{x}=-1\\log_4\frac{x+1}{x}=\frac14 \end{aligned}\right.\\log_4\frac{x+1}{x}\ge-\frac12 \end{cases}\Leftrightarrow log_4\frac{x+1}{x}=\frac14\Leftrightarrow x=\sqrt2+1 $$

ссылка

отвечен 21 Фев '14 22:18

10|600 символов нужно символов осталось
1

Прибавим к обеим частям число $%\log_4\frac12$%. Тогда в силу свойств логарифмов, множитель 8 в левой части можно будет заменить на множитель 4. При этом $%(x+1)/x > 0$%, и можно ввести новую переменную $%y=\log_4\frac{x+1}x$%. Уравнение при этом запишется как $%2y+1=\sqrt{2+y}$%. Возводя в квадрат, имеем $%4y^2+3y-1=0$%, где $%y=-1$% не подходит, а $%y=1/4$% подходит. Отсюда $%(x+1)/x=4^y=4^{1/4}=2^{1/2}=\sqrt2$%, и тогда $%x=\frac1{\sqrt2-1}=\sqrt2+1$%. Это единственное решение уравнения.

ссылка

отвечен 21 Фев '14 22:08

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×257

задан
21 Фев '14 21:47

показан
535 раз

обновлен
21 Фев '14 22:18

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru