2
1

Отрезок длины $%a$% случайным образом разделен на 3 части. Найти вероятность того, что длины хотя бы двоих частей не меньше, чем $%a/5$%.

задан 21 Фев '14 23:00

10|600 символов нужно символов осталось
1

Можно подсчитать вероятность дополнительного события -- когда два отрезка из трёх имеют длину меньше $%a/5$% (все три одновременно не могут иметь такую длину). Также будем считать, что $%a=1$% без ограничения общности.

Если $%x$% -- первая из брошенных на отрезок точек, а $%y$% -- вторая (при равномерном бросании), то с вероятностью 1/2 будет выполняться неравенство $%x < y$%. Для симметричного случая $%x > y$% вероятности будут такими же, поэтому мы ограничимся случаем $%x < y$%, а затем удвоим полученное число.

Отрезки разбиения имеют длины: $%x$%; $%y-x$%; $%1-y$%. Возможны три случая, вероятности которых мы сейчас найдём. Напомним, что нами рассматривается случай $%y > x$%, то есть мы берём верхнюю часть единичного квадрата, разрезаемого диагональю.

1) $%P\{x < 1/5, y-x < 1/5\}$%. На единичном квадрате получится параллелограмм, ограниченный линиями $%x=0$%, $%x=1/5$%, $%y=x$%, $%y=x+1/5$%. Его площадь равна 1/25.

2) $%P\{x < 1/5, 1-y < 1/5\}$%. Здесь получается квадрат, ограниченный линиями $%x=0$%, $%x=1/5$%, $%y=4/5$%, $%y=1$%. Его площадь также равна 1/25.

3) $%P\{y-x < 1/5, 1-y < 1/5\}$%. Это параллелограмм, ограниченный линиями $%y=x$%, $%y=x+1/5$%, $%y=4/5$%, $%y=1$%. Площадь у него такая же, то есть 1/25.

Как отмечалось выше, эти события попарно не пересекаются. Вероятность объединения равна 3/25. С учётом симметричного случая, получается 6/25 для "неуспеха". Таким образом, в ответе будет 19/25, то есть 76%.

ссылка

отвечен 21 Фев '14 23:52

Большое спасибо, уже который раз именно Вы приходите на выручку :-).

(22 Фев '14 0:28) Танюша
10|600 символов нужно символов осталось
2

Пусть $%x$% -длина первой части отрезка, $%y$% - длина второй части ,a $%z$%- длина третьей части. Тогда соотношениями $%x+y+z=a,x>0,y>0,z>0$%,в трёхмерной координатной системе определяется oбласть внутренных точек треугольника $%ABC,$% где $%A(a,0,0), B(0,a,0), C(0,0,a).$%

Подсчитаем вероятность дополнительного события $%\overline T$%- когда больше чем два отрезка из трёх имеют длину меньше $%a/5$%. Такие точки $%(x;y;z)$% лежат на пересечениях трапециий $%AFDC,CHIB, AJLB$%,то есть на ромбах $%CHMD,HLBI,AFQG$%.Объеденение этих равних ромбов будет область благоприятних исходов, а треугольник $%ABC-$% область всех исходов.(Oчевидно , что все три трапеции $%AFDC,CHIB, AJLB$% не пересекаются (три отрезка одновременно не могут иметь длину меньше $%a/5.$%).

Пусть $%AF=b,AB=5b$%

$%P(\overline T)=\large \frac{3S_{AFDC}}{S_{ABC}}=\frac{3b^2sin60^0}{\frac12\cdot 25b^2sin60^0}=\frac6{25}.$%

Тогда $%P(T)=1-P(\overline T)=\frac{19}{25}.$% alt text

ссылка

отвечен 22 Фев '14 21:22

изменен 22 Фев '14 22:00

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,214

задан
21 Фев '14 23:00

показан
3578 раз

обновлен
22 Фев '14 22:00

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru