Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение $$(69-30x)^{1/2}=9-3x$$и неравенство $$log_{1.5ax+3}(3x^2-6.5x+2+a)<= x$$имеют только одно общее решение

задан 22 Фев '14 0:30

10|600 символов нужно символов осталось
1

Первое уравнение возводим в квадрат, решаем получившееся квадратное уравнение, находим корни $%x=2$% и $%x=2/3$%, убеждаясь при помощи проверки, что оба они подходят. Теперь надо рассмотреть два случая, когда один из этих корней является решением неравенства, а второй не является.

При $%x=2$% неравенство принимает вид $%\log_{3a+3}(1+a)\le2$%, а при $%x=2/3$% получается $%\log_{a+3}(-1+a)\le2/3$%. Для каждого из двух неравенств найдём те $%a$%, при которых оно справедливо, а в конце учтём те $%a$%, которые являются решениями в точности одного из них.

1) Первое неравенство (для случая $%x=2$%) можно упростить до $%\log_{3a+3}3\ge-1$%. Отдельно решаем его для $%3a+3 > 1$%, где получается $%3(3a+3)\ge1$%, то есть $%a\ge-8/9$%, что будет выполнено в силу ограничения $%a > -2/3$%, а также для $%0 < 3a+3 < 1$%, то есть при $%-1 < a < -2/3$%. Здесь уже получается $%a\le-8/9$%, и для первого случая окончательно имеем $%a\in(-1;-8/9]\cup(-2/3;+\infty)$%. Это в точности те значения $%a$%, для которых $%x=2$% будет решением неравенства.

2) Во втором неравенстве, $%\log_{a+3}(a-1)\le2/3$%, имеем $%a > 1$%, откуда основание логарифма также оказывается больше 1, и логарифмическая функция возрастает. Следовательно, $%a-1\le(a+3)^{2/3}$% (всё это на множестве $%a > 1$%). Равносильным будет неравенство $%(a-1)^3\le(a+3)^2$%, про которое можно заметить, что оно становится равенством для $%a=5$%. В кубическом неравенстве $%a^3-4a^2-3a-10\le0$% левую часть можно разложить на множители: $%(a-5)(a^2+a+2)\le0$%. Квадратный трёхчлен всегда положителен, откуда $%a\le5$%, то есть $%x=2/3$% будет решением неравенства при $%a\in(1;5]$%.

Второе множество является подмножеством первого, поэтому для получения ответа надо рассмотреть теоретико-множественную разность. Получается $%a\in(-1;-8/9]\cup(-2/3;1]\cup(5;+\infty)$%.

ссылка

отвечен 22 Фев '14 1:36

@falcao, спасибо)

(2 Мар '14 19:20) Uchenitsa
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×857
×482
×414
×240
×106

задан
22 Фев '14 0:30

показан
850 раз

обновлен
2 Мар '14 19:20

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru