При каких значениях параметра а система $$x^2+y^2=2(1+a) \\\ (x+y)^2=14$$ имеет в точности два решения

задан 22 Фев '14 20:59

10|600 символов нужно символов осталось
1

Вместе с $%(x;y)$% решениями должны быть также $%(-x;-y)$% и $%(y,x)$%. Поскольку первые два решения совпадать не могут (в противном случае было бы $%x=y=0$%, что не удовлетворяет второму уравнению), третье решение должно совпадать с первым или вторым. В одном случае получается, что $%x=y$%, в другом -- что $%x+y=0$%, но это невозможно.

Таким образом, $%x=y$%, откуда $%4x^2=14$%, то есть $%2x^2=7=2(1+a)$%, и $%a=5/2$%.

Осталось проверить, что при таком значении параметра решений будет в самом деле два. Действительно, получается, что $%x^2+y^2=7$% и $%(x+y)^2=14$%, откуда $%2xy=(x+y)^2-(x^2+y^2)=7$%. Тем самым, $%(x-y)^2=(x^2+y^2)-2xy=7-7=0$%, то есть $%x=y$%, а этот случай уже исследован. Здесь получается $%x=y=\pm\sqrt{14}/2$%, то есть два решения.

Возможно также решение с построением графиков (окружность касается прямых $%x+y=\pm\sqrt{14}$%), но оно ведёт к тому же самому.

ссылка

отвечен 22 Фев '14 21:17

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×534
×116

задан
22 Фев '14 20:59

показан
535 раз

обновлен
22 Фев '14 21:17

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru