При каких значениях параметра система имеет единственное решение (х;у)?$$x^2-(2a+1)x+a^2-3=y \\\ y^2-(2a+1)y+a^2-3=x$$

задан 23 Фев '14 10:47

10|600 символов нужно символов осталось
2

Поскольку система симметрична относительно замены $%(x;y)$% на $%(y;x)$%, обладать единственным решением она может только в случае $%x=y$%. Это значит, что $%x$% удовлетворяет уравнению $%x^2-(2a+1)x+a^2-3=x$%, причём такое $%x$% должно быть ровно одно, так как данное условие необходимо и достаточно для того, чтобы пара $%(x;x)$% была решением системы.

Записывая уравнение в виде $%x^2-2(a+1)x=3-a^2$% и дополняя левую часть до квадрата разности, прибавляем $%(a+1)^2$% к обеим частям уравнения. При этом получается, что $%(x-(a+1))^2=2a+4$%. Единственность решения означает, что правая часть обращается в ноль, то есть $%a=-2$% (к тому же выводу можно прийти, рассматривая дискриминант).

Пока что мы знаем, что только при $%a=-2$% система из условия может иметь единственное решение (при всех остальных $%a$% решений либо нет, либо их более одного). Но теперь надо проверить, что у этой системы не будет "побочных" решений, то есть таких, для которых $%x\ne y$% (то, что при $%x=y$% решение будет ровно одно, мы уже знаем).

Итак, положим $%a=-2$% и рассмотрим систему $$\left\{\begin{array}{l}x^2+3x+1=y\\ y^2+3y+1=x\end{array}.\right.$$ Вычтем из первого уравнения второе: $%x^2-y^2+3(x-y)=y-x$% и далее разделим на число $%x-y\ne0$%. Получится $%x+y+3=-1$%, то есть $%y=-4-x$%. Первое уравнение при этом принимает вид $%x^2+3x+1=-4-x$%, то есть $%x^2+4x+5=0$%. Дискриминант квадратного трёхчлена оказывается отрицательным, поэтому таких решений быть не может.

Таким образом, в ответе будет единственное значение параметра $%a=-2$%.

ссылка

отвечен 23 Фев '14 11:20

@epimkin: нет, при a=-3/2 решение не будет единственным. Подходит как x=y=1/2, так и x=y=-3/2.

(23 Фев '14 12:38) falcao

Я уже увидел

(23 Фев '14 12:45) epimkin

а разве когда мы подставляем -2 под систему не должно получится единственное решение ?

(27 Фев '14 15:19) Amalia

@Amaila: конечно, должно. У меня в решении так и написано. Значение $%a=-2$% нам подходит, а больше никакое не подходит. То есть при подстановке $%a=-2$% получается система, имеющее единственное решение, а при всех остальных $%a$% будет что-то другое: решений либо нет, либо их более одного.

(27 Фев '14 15:35) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Можно применить мой подход Система неравенств

ссылка

отвечен 23 Фев '14 13:48

изменен 23 Фев '14 13:50

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×530
×329

задан
23 Фев '14 10:47

показан
880 раз

обновлен
27 Фев '14 15:35

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru