0
1

Найти значения параметра при которых система имеет единственное решение $$y\ge (x-a)^2 \\\ x \ge(y-a)^2$$

задан 23 Фев '14 11:59

изменен 24 Фев '14 21:58

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
5

Система неравенств имеет единственное решение, если единственное решение имеет система уравнений $$\begin{cases}y=(x-a)^2,\\x=(y-a)^2,\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}y=(x-a)^2,\\y-x=(x-a)^2-(y-a)^2,\end{cases}\Leftrightarrow\left[ \begin{aligned}\begin{cases}y=(x-a)^2,\\y-x=0,\end{cases}\\\begin{cases}y=(x-a)^2,\\x+y-2a+1=0,\end{cases} \end{aligned} \right. $$. Единственное решение у совокупности будет тогда, когда первая система имеет единственное решение, а вторая система совокупности не имеет решения, и наоборот. В первом случае это возможно при $%a=-\frac{1}{4}.$% Второй случай невозможен ( это легко проверяется).

ссылка

отвечен 23 Фев '14 13:34

10|600 символов нужно символов осталось
3

Рассмотрим случай, когда система имеет решение, для которого $%x=y$%. В противном случае решений или нет, или их более одного ($%x$% и $%y$% можно поменять местами).

Рассмотрим неравенство $%(x-a)^2\le x$%. Оно должно иметь в точности одно решение относительно $%x$%. Это значит, что дискриминант трёхчлена $%x^2-(2a+1)x+a^2$% обращается в ноль: $%D=(2a+1)^2-4a^2=4a+1=0$%. Таким образом, $%a=-1/4$%. Для этого случая надо проверить, что система из условия имеет в точности одно решение.

Пусть выполнены оба условия: $%y\ge(x+1/4)^2$% и $%x\ge(y+1/4)^2$%. Их удобно представлять себе геометрически. С этой целью рассмотрим параболу, заданную уравнением $%y=(x+1/4)^2$%. Она касается прямой $%y=x$% в точке $%(1/4;1/4)$%, что следует из того факта (уже проверенного), что уравнение $%(x+1/4)^2=x$% имеет единственное решение.

Множеством решений неравенства $%y\ge(x+1/4)^2$% будет множество точек построенной параболы, а также точек, расположенных выше неё. Второму условию, то есть неравенству $%x\ge(y+1/4)^2$%, удовлетворяют те точки, в которые переходят точки предыдущего множества посредством осевой симметрии относительно оси $%y=x$%. Отсюда сразу видно, что они пересекаются ровно в одной точке.

Ответом в задаче будет одно значение $%a=-1/4$%. Для полноты картины, дадим чисто алгебраическое рассуждение вместо геометрического. Предположим, что выполнено неравенство $%y\ge(x+1/4)^2$%. Утверждается, что $%y\ge x$%, причём равенство имеет место только в случае $%x=y=1/4$%. С этой целью рассмотрим разность $%y-x\ge(x+1/4)^2-x=x^2-x/2+1/16=(x-1/4)^2\ge0$%, откуда всё становится ясно. Аналогично, из второго уравнения системы получаем $%x\ge y$%, и это доказывает, что $%x=y$%.

ссылка

отвечен 23 Фев '14 12:40

а есть еще алгебраические способы решения неравенства?

(24 Фев '14 21:12) Amalia

@Amalia: я не понял Вашего вопроса. В данном случае я привёл как геометрическое (с графиками) рассуждение, так и алгебраическое (с использованием неравенств). Там принципиально то, что в одном случае $%y\ge x$%, а в другом $%y\ge x$%. Если имелось в виду, можно ли эти особенности игнорировать, решая как бы "в общем виде", то в принципе это возможно, но так получится сложнее. Здесь помогает симметрия, и если её не учитывать, то придётся решать что-то вроде сложных уравнений 4-й степени.

(24 Фев '14 21:50) falcao

мне алгебраическое решение не очень понятно

(27 Фев '14 15:32) Amalia

@Amalia: а что именно непонятно? Какие-то выводы и умозаключения, или непонятно, как до них додуматься? Если что, я рассуждал так: строил график, убеждался в том, что он лежит в полуплоскости $%y=x$% и касается в одной точке этой прямой. А потом уже это наблюдение обосновывалось на языке неравенств и квадратных уравнений.

(27 Фев '14 15:39) falcao

а можно как то его решить без графика?

(27 Фев '14 15:40) Amalia

@Amalia: без графика -- это алгебраически. Я пока не понимаю, чего именно Вы хотите, то есть какой способ Вас бы устроил. Точнее, что не устраивает в каждом из двух способах?

(27 Фев '14 15:46) falcao

в алгебраическом способе который вы написали все сложно, можно это проще сделать?

(27 Фев '14 15:50) Amalia

@Amalia: проще можно только оформить то же самое. Я воспользовался неравенством $%(x+1/4)^2\ge x$%. Само по себе оно почти очевидно, и проверяется простым раскрытием скобок, а также является частным случаем неравенства $%(a+b)^2\ge4ab$%, равносильного $%(a-b)^2\ge0$%.

(27 Фев '14 17:44) falcao
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×111

задан
23 Фев '14 11:59

показан
2871 раз

обновлен
27 Фев '14 17:44

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru