Найдите все значения параметра а, при которых существует единственная пара(х;у) удовлетворяющая уравнению $$2^{\frac{a}{2}+1}*x^2-x^4=y^2-2y\sqrt{a}+6$$

задан 23 Фев '14 15:31

изменен 23 Фев '14 16:45

Тут в условии опечатка

(23 Фев '14 16:45) Amalia

@Amalia: если условие имеет тот вид, как оно представлено сейчас, то подходящих значений параметра не имеется. В предыдущей версии задача выглядела более правдоподобно. Может быть, имеет смысл ещё раз сверить правильность записи условия?

(23 Фев '14 17:04) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
2

Поскольку вместе с парой $%(x;y)$%, являющейся решением, таким же свойством будет обладать пара $%(-x;y)$%, ситуация из условия задачи возможна только при $%x=0$%. Уравнение при этом принимает вид $%y^2-2y\sqrt{a}=2^{a/2+1}-6$%, и после прибавления $%a$% к обеим частям получается $%(y-\sqrt{a})^2=2^{a/2+1}-6+a$%. Если в правой части оказывается число, меньшее нуля, то решений (при которых $%x=0$%) нет. Если оно больше нуля, то решений относительно $%y$% оказывается более одного. Следовательно, рассмотрению подлежит только случай, когда это число равно нулю, то есть $%2^{a/2+1}=6-a$%.

Получилось уравнение в виде равенства двух функций, одна из которых возрастает, а другая убывает. Такое уравнение может иметь не более одного решения, что очевидно как на уровне графических, так и на уровне аналитических соображений. При этом также очевидно, что $%a=2$% удовлетворяет данному уравнению. (Если бы такого явления, когда есть "очевидный" корень, не произошло, то получилось бы уравнение иррационального типа, которое решается только приближёнными методами.)

Итак, внимания заслуживает только анализ случая $%a=2$%, при котором исходное уравнение принимает вид $%y^2-2y\sqrt2+2+x^4=0$%. Это значит, что $%(y-\sqrt2)^2+x^4=0$%, откуда сразу понятно, что $%(x;y)=(0;\sqrt2)$% служит единственным решением.

ссылка

отвечен 23 Фев '14 15:55

10|600 символов нужно символов осталось
3

Решение для предыдущей версии:

alt text Для новой версии: $$2^{\frac{a}{2}+1}x^2-x^4=y^2-2y\sqrt{a}+6\Leftrightarrow (x^2-2^{\frac{a}{2}})^2+(y-\sqrt{a})^2=2^a+a-6.$$ Решений нет.

ссылка

отвечен 23 Фев '14 15:48

изменен 24 Фев '14 20:45

@Anatoliy: по поводу новой версии. Там в правой части уравнения должно быть $%2^a+a-6$%.

(23 Фев '14 18:12) falcao

Спасибо. Но, выходит, что есть решение ...

(23 Фев '14 19:13) Anatoliy
1

@Anatoliy: решения всё-таки нет, потому что при $%a=6$% уравнение имеет вид $%(x^2-8)^2+(y-\sqrt{6})^2=64$%, и у него решений бесконечно много.

(23 Фев '14 21:06) falcao

а как еще можно показать что нет решений?

(24 Фев '14 20:38) Amalia

falcao прав.Во втором случае решений нет.

(24 Фев '14 20:48) Anatoliy
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×530

задан
23 Фев '14 15:31

показан
767 раз

обновлен
24 Фев '14 20:48

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru