Здравствуйте!

Вот задание: $$|sin(2x-1)| = cos(x)$$ при $%|x|<2\pi$%.

Спасибо.

задан 23 Фев '14 17:03

10|600 символов нужно символов осталось
2

Уравнение можно записать в виде $%\sin(2x-1)=\pm\cos x=\pm\sin(\frac{\pi}2-x)$% при дополнительном ограничении $%\cos x\ge0$%.

Сумму и разность синусов можно разложить в произведение по соответствующим формулам, приравнивая эти выражения к нулю. При таком подходе возникает слишком много разных случаев, поэтому можно поступить несколько проще. Во-первых, вместо условия $%\sin\alpha=\pm\sin\beta$% можно рассмотреть возведённое в квадрат условие $%\sin^2\alpha=\sin^2\beta$% -- оно будет равносильно исходному. Далее, из этого вытекает равенство косинусов двойного угла, так как они выражаются через квадраты синусов; обратное тоже имеет место. Таким образом, $%\cos2\alpha=\cos2\beta$%, и теперь уже можно рассмотреть формулу для разности косинусов, придя к тому, что $%\sin(\alpha+\beta)\sin(\alpha-\beta)=0$%.

Применительно к нашей ситуации, где $%\alpha=2x-1$%, $%\beta=\frac{\pi}2-x$%, это приводит к совокупности уравнений $%\sin(x-1+\frac{\pi}2)=0$% и $%\sin(3x-1-\frac{\pi}2)=0$%, что в соответствии с формулами приведения даёт $$\left[\begin{array}{l}\cos(x-1)=0\\ \cos(3x-1)=0\end{array}\right.$$ с учётом дополнительных ограничений $%\cos x\ge0$% и $%|x| < 2\pi$%.

Заметим, что нам достаточно найти все решения на интервале $%x\in(0;2\pi)$%, так как $%x=0$% заведомо не является решением, а каждому такому $%x$% однозначно соответствует решение $%x-2\pi\in(-2\pi;0)$% ввиду периодичности функций из условия. Неотрицательным значениям косинуса будут соответствовать два промежутка: $%(0;\frac{\pi}2]$% и $%[\frac{3\pi}2;2\pi)$%.

Рассмотрим серию решений для первого уравнения совокупности. Получается $%x-1=\frac{\pi}2+\pi k$%, где $%k\in{\mathbb Z}$%. Заключим значения $%x=1+\frac{\pi}2+\pi k$% в первый из промежутков, что приводит к неравенствам $%0 < 1+\frac{\pi}2+\pi k\le\frac{\pi}2$%, откуда $%-\frac12< k+\frac1{\pi}\le0$%. Среди целых чисел здесь ни одно не подходит. Для второго промежутка неравенства имеют вид $%\frac{3\pi}2\le1+\frac{\pi}2+\pi k < 2\pi$%, то есть $%1\le k+\frac1{\pi} < \frac32$%. Здесь подходит $%k=1$%, которому соответствует решение $%x=1+\frac{3\pi}2$%.

Теперь рассматриваем серию решений для второго уравнения совокупности. Это даёт $%3x-1=\frac{\pi}2+\pi m$%, где $%m\in{\mathbb Z}$%. Неравенства для первого промежутка, где $%3x\in(0;\frac{3\pi}2]$%, получаются следующие: $%0 < 1+\frac{\pi}2+\pi m\le\frac{3\pi}2$%, откуда $%-\frac12< m+\frac1{\pi}\le1$%. Подходит только $%m=0$%, что даёт решение $%x=\frac13+\frac{\pi}6$%. Для второго промежутка, где $%3x\in[\frac{9\pi}2;6\pi)$%, неравенства имеют вид $%\frac{9\pi}2\le1+\frac{\pi}2+\pi m < 6\pi$%, то есть $%4\le m+\frac1{\pi} < \frac{11}2$%. Здесь подходят два значения: $%m=4$% и $%m=5$%, которым соответствуют решения $%x=\frac13+\frac{3\pi}2$% и $%x=\frac13+\frac{11\pi}6$%.

Таким образом, мы получили 4 решения, и теперь можно составить полный список из 8 решений, добавляя к полученным числам те, которые получаются вычитанием из них числа $%2\pi$%.

Ответ: $%x\in\{\frac13-\frac{11\pi}6,\frac13-\frac{\pi}2,1-\frac{\pi}2,\frac13-\frac{\pi}6,\frac13+\frac{\pi}6,\frac13+\frac{3\pi}2,1+\frac{3\pi}2,\frac13+\frac{11\pi}6\}$%.

ссылка

отвечен 23 Фев '14 19:53

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×947
×97

задан
23 Фев '14 17:03

показан
682 раза

обновлен
23 Фев '14 19:53

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru