Найти все значения параметров a и b при которых система имеет только одно решение (х>0)$$|(x^y-1)/(x^y+1)|=a \\\ x^2+y^2=b$$

задан 23 Фев '14 19:05

10|600 символов нужно символов осталось
1

При замене $%y$% на $%-y$% выражение под модулем становится равным $%(x^{-y}-1)/(x^{-y}+1)$%, что после домножения числителя и знаменателя на $%x^y$% приобретает вид $%(1-x^y)/(1+x^y)$%. Число меняет знак, а его модуль остаётся тем же. Из этого следует, что решению $%(x;y)$% соответствует также решение $%(x;-y)$%, поэтому рассмотрения заслуживает только случай $%y=0$%. Такое возможно только при условии $%a=0$%. Значение $%b$% должно быть положительным ввиду ограничения $%x > 0$%, оговорённого в условии.

Исследуем, какие решения имеет система при $%a=0$% и $%b > 0$%. Здесь возникает уравнение $%x^y=1$%. В качестве его решения можно указать $%y=0$%, и тогда из второго уравнения получается $%x=\sqrt{b}$%. Возможен также случай $%x=1$%, когда любое $%y$% подходит в первом уравнении. Тогда оно не должно подходить во втором уравнении помимо уже упомянутого случая $%y=0$%. Это значит, что уравнение $%y^2=b-1$% не должно иметь отличных от нуля решений, а это означает, что $%b-1\le0$%.

Таким образом, искомыми значениями параметров будут $%a=0$% и $%b\in(0;1]$%. Единственным решением при этом будет пара $%(x;y)=(\sqrt{b};0)$%.

ссылка

отвечен 23 Фев '14 20:10

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×532

задан
23 Фев '14 19:05

показан
423 раза

обновлен
23 Фев '14 20:10

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru