|
integral(Im(z)dz) C-полуокружность |z-1|=1, Re(z)>=1. Начало пути интегрирования в точке z=1-i Буду благодарен за помощь в решении с подробным объяснением. задан 24 Фев '14 2:12 
Global |
|
Сначала нужно параметризовать кривую, по которой ведётся интегрирование. Пусть $%-\pi/2\le t\le\pi/2$%. Тогда $%z=x+iy$%, где $%x=1+\cos t$% и $%y=\sin t$%. С учётом того, что $%dz=dx+idy=(-\sin t+i\cos t)dt$%, нужно проинтегрировать функцию $%Im(z)=y=\sin t$% по $%dz$%, то есть надо вычислить интеграл $$\int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}(-\sin^2t+i\sin t\cos t)\,dt.$$ Тригонометрические функции выражаются через косинус и синус двойного угла, после чего всё сводится к табличным интегралам. отвечен 24 Фев '14 3:34 
falcao |
Здесь в условии какая-то опечатка имеется. Полуокружность задана условием Im(z)>=1, а у начала пути интегрирования мнимая часть равна -1, то есть эта точка не удовлетворяет условию. Может, там должно быть Re(z)>=1?
@falcao да верно, в вопросе опечатался...