Множество М состоит из точек(a;b) координатной плоскости для которых уравнение $$(20a+21b+63)x^4+(3b-4a+9)x^2+|b^2-4|+b^2-4=0$$ имеет ровно одно решение. Доказать, что в многоугольник, которым является множество М, можно вписать окружность, и найти координаты центра этой окружности.

задан 24 Фев '14 13:50

@Amalia, Вы не могли бы сообщить название сборника, откуда был извлечен данный пример. Буду признателен.

(24 Фев '14 14:10) IvanLife

Не могу, извините

(24 Фев '14 14:13) Amalia

Вы не знаете первоисточника?

(24 Фев '14 14:32) IvanLife
10|600 символов нужно символов осталось
1

Если решение одно, то им может быть только $%x=0$% ввиду того, что $%-x$% будет решением вместе с $%x$%. Это значит, что $%b^2\le4$%, то есть $%|b|\le2$%. Из этого следует, что множество $%M$% содержится в горизонтальной полосе, заключённой между прямыми $%b=2$% и $%b=-2$%. Свободный член здесь равен нулю, и на $%x^2$% можно теперь сократить, так как нулевое решение учтено. Надо понять, при каких условиях других решений больше не будет.

Уравнение получается такое: $%(20a+21b+63)x^2=4a-3b-9$%. Рассмотрим случаи, когда коэффициенты уравнения обращаются в ноль. Этому соответствуют уравнения двух прямых: $%b=-\frac{20}{21}a-3$% и $%b=\frac43a-3$%. Пересечением их будет точка $%(a;b)=(0;-3)$%, лежащая вне полосы. Прямые задают 4 угла, каждому из которых соответствует определённый набор знаков коэффициентов. Нас интересует случай, когда знаки этих коэффициентов разные. Легко заметить, что это имеет место при $%a=b=0$%, то есть для начала координат. Поэтому множеством $%M$% будет пересечение полосы с тем углом, к котором находится начало координат. При этом получается трапеция. Найдём координаты её вершин.

При $%b=-2$% (нижний край полосы) получаются точки с абсциссами $%a=-(63+21b)/20=-21/20$% и $%a=(9+3b)/4=3/4$%. Полагаем $%A(-21/20;-2)$% и $%B(3/4;-2)$%. При $%b=2$% (верхний край полосы) получается $%a=(9+3b)/4=15/4$% для второй прямой и $%a=-(63+21b)/20=-21/4$% для первой. Полагаем $%C(15/4;2)$% и $%D(-21/4;2)$%. Трапеция $%ABCD$% и будет искомым множеством $%M$%.

Найдём длины сторон трапеции: $%AB=3/4-(-21/20)=9/5$%; $%CD=15/4-(-21/4)=9$%; $%BC=\sqrt{3^2+4^2}=5$%; $%AD=\sqrt{(21/5)^2+4^2}=29/5$%. В двух последних случаях мы воспользовались известной формулой для нахождения расстояния между двумя точками координатной плоскости. Мы при этом можем прийти к выводу, что $%AB+CD=54/5=AD+BC$%, то есть суммы длин противоположных сторон четырёхугольника равны. Это значит, что в него можно вписать окружность.

Осталось найти координаты $%(a;b)$% центра вписанной окружности. Мы знаем, что он лежит на равном расстоянии от краёв полосы, откуда $%b=0$%. Кроме того, он лежит на биссектрисе угла $%BCD$%. Координаты векторов $%\vec{CB}$% и $%\vec{CD}$% равны $%(-3;-4)$% и $%(-9;0)$% соответственно. Их длины при этом равны $%5$% и $%9$%. Умножим первый вектор на длину второго, а второй на длину первого. Получим векторы $%(-27;-36)$% и $%(-45;0)$% равной длины. Если их сложить, то получится направляющий вектор биссектрисы, равный $%(-72;-36)$%, пропорциональный вектору $%(2;1)$%. Отсюда следует, что угловой коэффициент прямой, содержащей биссектрису, равен $%1/2$%. Эта прямая проходит через точку $%C$% и имеет уравнение $%b=\frac12(a-\frac{15}4)+2$%. Приравнивая $%b$% к нулю, получаем $%a=-1/4$%. Таким образом, координаты центра вписанной окружности равны $%(-1/4;0)$%.

ссылка

отвечен 24 Фев '14 17:04

10|600 символов нужно символов осталось
2

Понятно, что таким решением должно быть $%x=0$%. Из этого следует, что: $$\begin{cases}b^2-4\le0,\\(20a+21b+63)(3b-4a+9)\ge0.\end{cases}$$

ссылка

отвечен 24 Фев '14 15:30

а от куда такая система?

(24 Фев '14 16:04) Amalia

Если в уравнение вместо $%x$% подставите $%0$%, то получите первое неравенство. Затем, когда уравнение будет содержать только слагаемые с $%x^2$% и $%x^4$%, вынесите за скобки $%x^2.$% Уравнение, левая часть которого, то что в скобке, а правая ноль не должно иметь решения отличного от нуля.

(24 Фев '14 16:14) Anatoliy

$%x^2(x^2(20a+21b+63)+3b-4a+9)=0$% вы это имеете в виду? Что то я не очень поняла

(24 Фев '14 16:35) Amalia
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,974

задан
24 Фев '14 13:50

показан
664 раза

обновлен
24 Фев '14 17:04

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru