Найдите все значения параметров a и b при которых система имеет одно решение $$xyz+z=a \\\ xyz^2+z=b \\\ x^2+y^2+z^2=4$$

задан 24 Фев '14 16:50

изменен 27 Фев '14 15:34

10|600 символов нужно символов осталось
3

При замене тройки $%(x;y;z)$% на $%(-x;-y;z)$% система не меняется. Следовательно, эти тройки должны совпадать, то есть единственное решение системы должно иметь вид $%(0;0;z)$%. Из первых двух уравнений получается $%z=a$% и $%z=b$%, то есть $%a=b$%. Таким образом, решением системы должна быть тройка $%(0;0;a)$%, и из последнего уравнения $%a^2=4$%.

Рассмотрим исходную систему при $%a=b=\pm2$%. Сравнение первых двух уравнений даёт $%xyz(z-1)=0$%. Если $%xyz=0$%, то $%z=a$%, и тогда в последнем уравнении получается $%x^2+y^2=0$%, то есть $%x=y=0$%. Это то решение, которое нами уже учтено. Осталось рассмотреть случай $%z-1=0$%: таких решений у нас быть не должно.

При $%z=1$% у нас получается, что $%xy=a-1$% и $%x^2+y^2=3$%. Система из этих двух уравнений не должна иметь решений. Рассматриваемых случаев у нас всего два: $%a=2$% и $%a=-2$%. В первом из них $%xy=1$%, и такие решения есть. В этом легко убедиться, подставив $%y=1/x$% в первое уравнение: получится биквадратное уравнение с положительными корнями. Значит, этот случай нам не подходит. Во втором случае $%a=-2$%, откуда $%xy=-3$%. Так быть уже не может, потому что при этом оказывается, что $%(x+y)^2=x^2+y^2+2xy=-3 < 0$% (в этом же самом можно убедиться при помощи составления биквадратного уравнения). Значит, второй случай нам подходит.

В ответе получается $%a=b=-2$%. Единственным решением будет $%(0;0;-2)$%.

ссылка

отвечен 24 Фев '14 17:41

10|600 символов нужно символов осталось
2

Ясно что система симметрична относительно $%x$% и $%y,$% тогда если решение $%(x,y,z)$% единственное решение, то $%x=y,$% тогда имеем систему

$%\begin{cases} x^2z+z=a \\x^2z^2+z=b \\ 2x^2+z^2=4\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \large\frac{4z-z^3}2+z=a \\x^2z^2+z=b \\ x^2=\large \frac{4-z^2}2\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} z^3=6z-2a \\x^2z^2+z=b \\ x^2=\large \frac{4-z^2}2\end{cases}.$%

Первое уравнение имеет ровно одно действительное решение (графики функциий $%z^3$% и $%6z-2a$%, пересекаются в одной точке ). Если подставить это единственное значение в уравнение $%x^2=\large \frac{4-z^2}2,$% получим единственное значение $%x,$% только когда $%z=\pm2,$% а $%x=0.$% И так решению $%(0;0;2)$% соответствуeт $%a=b=2,$% решению $%(0;0;-2),$% соответствует $%a=b=-2.$%

Остается проверить , что при $%a=b=2$% и $%a=b=-2$% система действительно имеет только эти решения.

При $%a=b=2,$% имеем

$%\begin{cases} xyz+z=2 \\xyz^2+z=2 \\ x^2+y^2+z^2=4\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} xyz(z-1)=0 \\xyz^2+z=2 \\ x^2+y^2+z^2=4\end{cases} \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}\begin{cases} x=0 \\y=0 \\z=2\end{cases}\\\begin{cases} x=\frac12(\pm1-\sqrt5) \\y=\frac12(\mp1-\sqrt5) \\ z=1\end{cases}\\\begin{cases} x=\frac12(\pm1+\sqrt5) \\y=\frac12(\mp1+\sqrt5) \\ z=1\end{cases}\end{aligned}\right.$%

Значит $%a=b=2$% не подходить, а при $%a=b=-2,$%

$%\begin{cases} xyz+z=-2 \\xyz^2+z=-2 \\ x^2+y^2+z^2=4\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} xyz(z-1)=0 \\xyz^2+z=-2 \\ x^2+y^2+z^2=4\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x=0 \\y=0 \\z=-2\end{cases}.$%

$%a=b=-2$% подходить.

Ответ $%a=b=-2$%

ссылка

отвечен 24 Фев '14 18:47

изменен 24 Фев '14 18:48

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×116

задан
24 Фев '14 16:50

показан
1036 раз

обновлен
27 Фев '14 15:34

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru