$$\sin(\pi\cos2x)=\cos(\pi\cos x)$$ решить уравнение

задан 24 Фев '14 16:57

изменен 24 Фев '14 17:08

falcao's gravatar image


261k33750

10|600 символов нужно символов осталось
1

Условие $%\sin\alpha=\cos\beta$% можно переписать в виде $%\cos(\frac{\pi}2-\alpha)=\cos\beta$%. Последнее означает, что $%\frac{\pi}2-\alpha=\pm\beta+2\pi k$%, где $%k\in{\mathbb Z}$%. В нашем случае после сокращения на множитель $%\pi$% получается уравнение $%\frac12=\cos2x\pm\cos x+2k$%.

Поскольку $%\cos2x\pm\cos x=2t^2\pm t-1$%, где $%t=\cos x$%, эта функция на отрезке $%t\in[-1;1]$% принимает значения в пределах от $%-9/8$% (в вершине параболы) до $%2$% (на одном из концов). Из этого следует, что $%2k\in[-3/2;13/8]$%, поэтому $%k$% может принимать только значение $%0$%. Тем самым, относительно $%t$% мы получаем уравнения вида $%2t^2\pm t-\frac32=0$%. Дискриминант здесь равен $%13$%, и четыре корня имеют вид $%\frac{\pm1\pm\sqrt{13}}4$%. Два из них не подходят в качестве значений косинуса, так как по модулю превышают единицу. В итоге мы приходим к уравнениям вида $%\cos x=\pm\frac{\sqrt{13}-1}4$%.

На единичной окружности этим случаям соответствуют 4 точки, получающиеся при её пересечении с прямыми $%x=\pm\frac{\sqrt{13}-1}4$%. Поскольку при центральной симметрии точки переходят друг в друга, можно взять две из них, лежащие в правой полуплоскости, с периодом кратным $%\pi$%. В итоге получится $%x=\pm\arccos\frac{\sqrt{13}-1}4+\pi m$%, где $%m\in{\mathbb Z}$%.

ссылка

отвечен 24 Фев '14 18:56

10|600 символов нужно символов осталось
2

link text

У меня получилось так

ссылка

отвечен 24 Фев '14 18:12

изменен 24 Фев '14 22:01

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×947
×931

задан
24 Фев '14 16:57

показан
631 раз

обновлен
24 Фев '14 18:56

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru