Пусть $%H$%, $%V$% - бесконечномерные пространства, одно банахово, второе нет. Верно ли, что если $%H \subset V$%, то $%V^\star \subset H^\star$% . Звёздочкой обозначены сопряженные пространства. Если бы пространства были гильбертовы, то это было бы верно. А при ослаблении условий? Если конкретно, то $%V$% - бесконечно-дифференцируемые функции над $%\mathbb{R}$%, а $%H$% - множество многочленов с вещественными коэффициентами

задан 22 Мар '12 20:11

изменен 22 Мар '12 23:31

1

А почему множество бесконечно дифференцируемых функций у Вас в ходит в множествомногочленов? Разве не наоборот?

(22 Мар '12 23:24) DocentI

Да, конечно наоборот. Сейчас поправлю

(22 Мар '12 23:31) Fedya
10|600 символов нужно символов осталось
1

Да, вопрос довольно очевидный, это верно для любых линейных пространств. Действительно: пусть $%f \in V^\star$% - элемент сопряжённого к $%V$% пространства. Тогда $%\forall x \in V$% определено $%(f,x)$% - действие $%f$% на $%x$%. Оно определено и на подпространстве $%H$% и линейно на нём, таким образом $%f \in H^\star$%. Что и требовалось доказать.

ссылка

отвечен 22 Мар '12 22:30

Если определено скалярное произведение, то да. Но для произвольного банахового пространства его может и не быть. Я на думаю, для полного ответа на Ваш нужно уточнить,- какую норму Вы берете?

(22 Мар '12 22:47) Андрей Юрьевич

Где здесь используется скалярное произведение? $%V^\star$% я называю пространство линейных функций из пространства в поле. Может быть, я использую не тот термин?

(22 Мар '12 22:59) Fedya

Норму я вообще не рассматриваю, интересуюсь алгебраической стороной дела.

(22 Мар '12 23:03) Fedya

Тогда это не банахово, а просто линейное пространство. Про норму я спросил, потому что не понял какую норму Вы берете Ваших функций на всем R. Если интеграл с весом, то у Вас автоматически получится гильбертово пространство. Впрочем, если норму вообще не определять, то Вы правы. Только нельзя называть такое пространство банаховым.

(22 Мар '12 23:47) Андрей Юрьевич

@Fedya Вы сами себе, что ли, ответили?

(22 Мар '12 23:55) DocentI

Да, я не прав, пространство не является банаховым.

(22 Мар '12 23:56) Fedya

@DocentI Да, так и есть. В доказательстве одного утверждения потребовался такой факт, я вспомнил, что для гильбертовых пространств он верен, но здесь нет скалярного произведения. Оставил вопрос и пошёл другим путём, но там стало как-то печально, я вернулся к этому утверждению, посмотрел на него и понял, что на самом деле оно очевидно. Вот такая хронология=)

(23 Мар '12 0:20) Fedya
1

И нас попутно развлекли! Спасибо!

(23 Мар '12 0:21) DocentI
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×654

задан
22 Мар '12 20:11

показан
1462 раза

обновлен
23 Мар '12 0:21

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru