|
Пусть $%H$%, $%V$% - бесконечномерные пространства, одно банахово, второе нет. Верно ли, что если $%H \subset V$%, то $%V^\star \subset H^\star$% . Звёздочкой обозначены сопряженные пространства. Если бы пространства были гильбертовы, то это было бы верно. А при ослаблении условий? Если конкретно, то $%V$% - бесконечно-дифференцируемые функции над $%\mathbb{R}$%, а $%H$% - множество многочленов с вещественными коэффициентами задан 22 Мар '12 20:11 
Fedya |
|
Да, вопрос довольно очевидный, это верно для любых линейных пространств. Действительно: пусть $%f \in V^\star$% - элемент сопряжённого к $%V$% пространства. Тогда $%\forall x \in V$% определено $%(f,x)$% - действие $%f$% на $%x$%. Оно определено и на подпространстве $%H$% и линейно на нём, таким образом $%f \in H^\star$%. Что и требовалось доказать. отвечен 22 Мар '12 22:30
Fedya Если определено скалярное произведение, то да. Но для произвольного банахового пространства его может и не быть. Я на думаю, для полного ответа на Ваш нужно уточнить,- какую норму Вы берете?
(22 Мар '12 22:47)
Андрей Юрьевич
Где здесь используется скалярное произведение? $%V^\star$% я называю пространство линейных функций из пространства в поле. Может быть, я использую не тот термин?
(22 Мар '12 22:59)
Fedya
Норму я вообще не рассматриваю, интересуюсь алгебраической стороной дела.
(22 Мар '12 23:03)
Fedya
Тогда это не банахово, а просто линейное пространство. Про норму я спросил, потому что не понял какую норму Вы берете Ваших функций на всем R. Если интеграл с весом, то у Вас автоматически получится гильбертово пространство. Впрочем, если норму вообще не определять, то Вы правы. Только нельзя называть такое пространство банаховым.
(22 Мар '12 23:47)
Андрей Юрьевич
Да, я не прав, пространство не является банаховым.
(22 Мар '12 23:56)
Fedya
@DocentI Да, так и есть. В доказательстве одного утверждения потребовался такой факт, я вспомнил, что для гильбертовых пространств он верен, но здесь нет скалярного произведения. Оставил вопрос и пошёл другим путём, но там стало как-то печально, я вернулся к этому утверждению, посмотрел на него и понял, что на самом деле оно очевидно. Вот такая хронология=)
(23 Мар '12 0:20)
Fedya
показано 5 из 8
показать еще 3
|
А почему множество бесконечно дифференцируемых функций у Вас в ходит в множествомногочленов? Разве не наоборот?
Да, конечно наоборот. Сейчас поправлю