|
Дан угол О, внутри него произвольным образом выбирается точка М. Через точку М проводится прямая, пересекающая угол в точках А и В. А)Когда площадь отсечённого треугольника будет минимальной? Б)Когда периметр отсечённого треугольника будет минимальным? (Имеется ввиду при каком угле между ОМ и АВ) задан 24 Фев '14 22:19 
stander |
|
Попробуйте в "лоб". Считайте, что известны углы, которые образует луч ОМ со сторонами угла и отрезок ОМ. Переменной будет угол между прямой АВ и ОМ. Выражаем стороны треугольника, а затем получаем выражения для периметра и площади, которые нужно (как функции) исследовать на экстремум. Геометрическое решение здесь-Задача_65 отвечен 24 Фев '14 22:43 
Anatoliy Аналитический подход довольно громоздкий... Может, есть иной выход?
(24 Фев '14 22:52)
stander
И если всё же выбрать аналитический подход, то выходит, что выражение для периметра, например:Р=xsin a(sin(a-a1)+sin(a+a2)+sin(a1+a2))/(sin(a+a2)*sin(a-a1), где a - угол между прямой АВ и ОМ,x - OM,a1 и a2 - углы между сторонами угла и ОМ. И вот теперь начинается печаль: я сбиваюсь при нахождении производной. Наверно, где-то при расчётах ошибка вышла(т.к она то больше, то меньше нуля).Не могли бы вы мне помочь?
(24 Фев '14 23:18)
stander
|
|
Оба варианта можно рассматривать из чисто геометрических соображений... Рассмотрим вневписанную окружность для треугольника $%OAB$%, которая касается сторон данного угла и стороны $%AB$%... Расстояние до точек касания со сторонами угла равно периметру... Чтобы его минимизировать надо окружность максимально придвинуть к вершине угла... Получаем. что минимум периметра достигается в том случае. когда вневписанная окружность проходит через точку $%M$%... В случае с площадью можно сделать гипотезу, что $%OM$% является медианой треугольника $%OAB$% и проверить её... Для доказательства поворачиваем сторону $%AB$% относительно точки $%M$% и показываем, что отсечённая площадь меньше добавленной... (Эта задача была на зональной олимпиаде в 88 году... я её тогда так и решил)... отвечен 25 Фев '14 19:59 
all_exist |
|
а)Проведём $%MC||OB,MA||OA.$%Обозначим $%OC=a,OD=b,\angle{BAC=\alpha},S_{DMB}=s_1,S_{MAC}=s_2,S_{ABC}=s.$% Для определённой точки $%M,$% числа$%a,b,\alpha$% являются константамы. В двух строках можно доказать, что $%\sqrt{s_1}+\sqrt{s_2}=\sqrt s$% и что $%S_{ODMC}=2\sqrt{s_1s_2}=a b sin\alpha.$% $%s=s_1+s_2+2\sqrt{s_1s_2}\ge 4\sqrt{s_1 s_2}=2a b sin\alpha,$% минимальное значение достигается когда $%s_1=s_2=\sqrt{s_1s_2}=\large\frac{absin\alpha}2.$% Последнее возможно если $% AC=OC=b,$% а $%BD=OD=a.$% Значит $%AB||DC.$% Остальное не трудно вычислить.
отвечен 26 Фев '14 9:11 
ASailyan |
Я мог бы изложить геометрическое решение, то есть описать, как построить отрезок для того и другого случая. Мне кажется, такой подход лучше и яснее, потому что угол вычислить можно всегда, но получится громозко и искусственно через какие-нибудь арксинусы.