Как доказать, что число линейно независимых элементов группы GL(n,C) равно n^2?

задан 25 Фев '14 22:45

10|600 символов нужно символов осталось
0

Надо построить базис в пространстве квадратных матриц $%n\times n$%, все элементы которого имеют ненулевой определитель. Начнём со стандартного базиса в $%\mathop{\rm Mat}(n,{\mathbb C})$%, состоящего из матричных единиц $%e_{ij}$% (на пересечении $%i$%-й строки и $%j$%-го столбца стоит 1, остальные нули). Заменим элемент $%e_{nn}$% на $%e=e_{11}+\cdots+e_{nn}$%, то есть на единичную матрицу. Очевидно, что это преобразование переводит базис в базис (к вектору базиса прибавили вектор из линейной оболочки остальных базисных векторов). Теперь так же точно прибавим единичную матрицу к каждому из остальных векторов. Получится базис, состоящий из $%e$% и из матриц вида $%e+e_{ij}$%, где $%1\le i,j\le n$% за исключением случая $%i=j=n$%.

Все рассматриваемые матрицы являются невырожденными. При $%i\ne j$% получается либо верхнетреугольная, либо нижнетреугольная матрица, и её определитель равен произведению диагональных элементов, то есть 1. При $%i=j\ne n$% получается диагональная матрица, определитель которой равен 2. Таким образом, построенный базис алгебры всех $%n\times n$%-матриц содержится в полной линейной группе.

ссылка

отвечен 26 Фев '14 2:20

Спасибо за помощь!

(26 Фев '14 8:57) wusan
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,849
×942
×69

задан
25 Фев '14 22:45

показан
809 раз

обновлен
26 Фев '14 8:57

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru