Найти формулу n-ого члена последовательности, заданной рекуррентно: x(1)=2, x(n+1)=2-3x(n), n-натуральное.

задан 26 Фев '14 16:07

изменен 26 Фев '14 20:47

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
0

Рассмотрим последовательность $%b_n=x_{n+1}-x_n, n\ge1.$% Из рекуррентного соотношения $%x_{n+1}=2-3x_n\Rightarrow x_{n+2}-x_{n+1}=-3( x_{n+1}-x_{n});(b_{n+1}=-3b_n,b_1=-6)\Rightarrow b_n=-6(-3)^{n-1}.$% Далее $$b_1=x_2-x_1\Rightarrow x_2=b_1+2,b_2=x_3-x_2\Rightarrow x_3=b_1+b_2+2,...,$$ $$x_{n+1}=b_1+b_2+...+b_n+2=-6(1+(-3)+(-3)^2+...(-3)^{n-1})+2=...$$

ссылка

отвечен 26 Фев '14 20:09

изменен 26 Фев '14 20:55

Чему по вашей формуле равно x(3), например?

(26 Фев '14 20:24) wusan

Данная формула нуждается в несложном упрощении (сумма членов геометрической прогрессии). На Ваш вопрос $%x_3=-6(1-3)+2=14.$% А как Вы получили свою формулу?

(26 Фев '14 21:01) Anatoliy

Обе формулы эквивалентны.

(26 Фев '14 22:06) wusan
1

$%b_n=-6(-3)^{n-1}\Rightarrow x_{n+1}-x_n=-6(-3)^{n-1} \Rightarrow x_{n+1}=x_n-6(-3)^{n-1}\Rightarrow, $% с другой стороны $%x_{n+1}=2-3x_{n}.$% Отсюда следует, что $%x_n-6(-3)^{n-1}=2-3x_{n}\Leftrightarrow 4x_n=6(-3)^{n-1}+2 \Leftrightarrow x_n=\frac 12(1-(-3)^{n})$%

(27 Фев '14 15:59) ASailyan

Так еще проще.

(27 Фев '14 16:29) Anatoliy
10|600 символов нужно символов осталось
1

$$x(n)=2\sum_{k=1}^{n}(-3)^{k-1}=0.5[1-(-3)^n]$$

ссылка

отвечен 26 Фев '14 20:00

изменен 26 Фев '14 22:24

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×125

задан
26 Фев '14 16:07

показан
4509 раз

обновлен
27 Фев '14 16:29

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru